Rekursive Folge: Grenzwert? a_n+1:=√(c + a_n) und a_1 = c > 0.

Question

Die rekursiv dedinierte folge an mit an:=c>0

an+1=wurzel von c plus an konvergiert.

EDIT: In Überschrift richtige Fragestellung aus den Kommentaren ergänzt (Lu)

 a_n+1:=√(c + a_n) und a_1 = c > 0.

Answer 1

Hi,
meinst Du diese Folge $a_{n+1}=\sqrt{c}$ ? Das its aber keine rekursive Folge. Meintest Du vielleich  $a_{n+1}=a_n+\sqrt{c}$ ? Die ist aber nicht konvergent.

Comments

Ich meinte a+1=Wurzel c+an

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Hi,

ich glaube, dass ist immer noch nicht richtig. Dann würde die Folge ja lauten $a_n=a_1-\sqrt{c}$ und $a_1$ ist nicht definiert.

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Tut mir leid...

da ist mir ein kleiner fehler passiert -,-

richtig ware: a1:= c>0, an+1= wurzel von c+an

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Hi,
diese Folge $a_{n+1}=a_n+\sqrt{c}$ mit $a_1=c$ konvergiert aber nicht. Durch einsetzten bekommst Du $a_2=c+\sqrt{c}$ und $a_3=c+\sqrt{c}+\sqrt{c}=c+2\sqrt{c}$ und allgemein $a_{n+1}=c+n\sqrt{c}$

D.h., Du summierst eine positive Zahl unendlichmal auf, das geht gegen unendlich und konvergiert nicht.

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 a_n+1 = √c+a_n  dass meinte ich ;)

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Ja, darauf hab ich doch geantwortet. Diese Reihe konvergiert nicht, siehe oben.

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Das ist aber eine folge.. Und mein a₁=c>0

so richtig hab ich das nicht verstanden was du gemacht hast :((

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Er hat gar nichts gemacht.

 

Er wartet darauf, dass du schreibst

a₁ = c > 0 ,  a_n+1 = √(a_n+c)  für  n∈ℕ

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Hi, dafür gibt's ja auch den Formeleditor, um solche Missverständnisse auszuschließen.

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Hi,
wir haben also die Folge $a_{n+1}=\sqrt{a_n+c}$ mit $a_1=c$ mit $c>0$ zu untersuchen. Es gilt $a_2=\sqrt{2c}$ und daran sieht man, das hier verschiedene Fälle unterschieden werden müssen

$$(1)\quad c<2$$
$$(2)\quad c=2$$
$$(3)\quad c>2$$
Im Fall (1) gilt $a_2=\sqrt{a_1+c}=\sqrt{2c}>c=a_1$ Man kann also annehmen, dass für $c<2$ eine monoton wachsende Folge vorliegt.
Im Fall (3) kann man genauso zeigen, dass vermutlich eine monoton fallende Folge vorliegt. Im Fall (2) folgt $a_2=\sqrt{a_1+c}=\sqrt{4}=2$ und $a_3=\sqrt{a_2+c}=\sqrt{4}=2$ usw. D.h. hier liegt eine konstante Folge vor. Damit ist der Fall (3) vollständig klar, die Folge ist konstant 2, damit konvergiert sie gegen 2.

Um die Konvergenz zu zeigen, kann man folgendes Kriterium heranziehen. Eine Folge ist konvergent wenn sie beschränkt und monoton ist.

Fall 1: Monotonie wird mit vollständiger Induktion gezeigt. Der Induktionsanfang ist ja schon gemacht, da $a_2 > a_1$ gilt. Gelte jetzt auch $a_n > a_{n-1}$ dann muss $a_{n+1}>a_n$ gezeigt werden. Also
$$\sqrt{a_n+c}>\sqrt{a_{n-1}+c}$$ oder
$$\sqrt{a_n+c}-\sqrt{a_{n-1}+c}>0$$ Die dritte binomische Formel liefert das, da gilt
$$\sqrt{a_n+c}-\sqrt{a_{n-1}+c}=$$ $$\frac{\left(\sqrt{a_n+c}-\sqrt{a_{n-1}+c}\right)\left(\sqrt{a_n+c}+\sqrt{a_{n-1}+c}\right)}{\left(\sqrt{a_n+c}+\sqrt{a_{n-1}+c}\right)}=$$ $$\frac{a_n-a_{n-1}}{\sqrt{a_n+c}+\sqrt{a_{n-1}+c}}>0$$ also ist die Folge im Fall 1 monoton steigend.

Genauso zeigt man für den Fall 3, dass die Folge monoton fällt.

Beschränktheit im Fall 1:
$$a_2=\sqrt{2c}<2$$ da $c<2$ gilt. Weiter gilt $a_{n+1}=\sqrt{a_n+c}$ also, folgt $a_{n+1}<2$. Damit ist die Folge nach oben beschränkt.

Im Fall 2 muss gezeigt werden, dass die Folge nach unten beschränkt ist, da hier eine monoton fallende Folge vorliegt. Es gilt aber $a_{n+1}>0$ also ist die Behauptung auch bewiesen.

Nun noch zum Grenzwert. Da die Folge nun konvergiert, weiss man, dass $a_{n+1}$ und $a_n$ gegen den gleichen Grenzwet konvergiert. Also kann man den Grenzwert wie folgt berechnet werden

$$x=\sqrt{x+c}$$ Und daraus folgt
$$x=-\frac{1}{4} \pm \sqrt{\frac{1}{4}+c}$$
Die Lösung mit dem negativen Vorzeichen vor der Wurzel entfällt, weil nur positive Lösungen zulässig sind.