Hi,
wir haben also die Folge \( a_{n+1}=\sqrt{a_n+c} \) mit \( a_1=c \) mit \( c>0 \) zu untersuchen. Es gilt \( a_2=\sqrt{2c} \) und daran sieht man, das hier verschiedene Fälle unterschieden werden müssen
$$ (1)\quad c<2 $$
$$ (2)\quad c=2 $$
$$ (3)\quad c>2 $$
Im Fall (1) gilt \( a_2=\sqrt{a_1+c}=\sqrt{2c}>c=a_1 \) Man kann also annehmen, dass für \( c<2 \) eine monoton wachsende Folge vorliegt.
Im Fall (3) kann man genauso zeigen, dass vermutlich eine monoton fallende Folge vorliegt. Im Fall (2) folgt \( a_2=\sqrt{a_1+c}=\sqrt{4}=2 \) und \( a_3=\sqrt{a_2+c}=\sqrt{4}=2 \) usw. D.h. hier liegt eine konstante Folge vor. Damit ist der Fall (3) vollständig klar, die Folge ist konstant 2, damit konvergiert sie gegen 2.
Um die Konvergenz zu zeigen, kann man folgendes Kriterium heranziehen. Eine Folge ist konvergent wenn sie beschränkt und monoton ist.
Fall 1: Monotonie wird mit vollständiger Induktion gezeigt. Der Induktionsanfang ist ja schon gemacht, da \( a_2 > a_1 \) gilt. Gelte jetzt auch \( a_n > a_{n-1} \) dann muss \( a_{n+1}>a_n \) gezeigt werden. Also
$$ \sqrt{a_n+c}>\sqrt{a_{n-1}+c} $$ oder
$$ \sqrt{a_n+c}-\sqrt{a_{n-1}+c}>0 $$ Die dritte binomische Formel liefert das, da gilt
$$ \sqrt{a_n+c}-\sqrt{a_{n-1}+c}=$$ $$\frac{\left(\sqrt{a_n+c}-\sqrt{a_{n-1}+c}\right)\left(\sqrt{a_n+c}+\sqrt{a_{n-1}+c}\right)}{\left(\sqrt{a_n+c}+\sqrt{a_{n-1}+c}\right)}= $$ $$ \frac{a_n-a_{n-1}}{\sqrt{a_n+c}+\sqrt{a_{n-1}+c}}>0 $$ also ist die Folge im Fall 1 monoton steigend.
Genauso zeigt man für den Fall 3, dass die Folge monoton fällt.
Beschränktheit im Fall 1:
$$ a_2=\sqrt{2c}<2 $$ da \( c<2 \) gilt. Weiter gilt \( a_{n+1}=\sqrt{a_n+c} \) also, folgt \(a_{n+1}<2 \). Damit ist die Folge nach oben beschränkt.
Im Fall 2 muss gezeigt werden, dass die Folge nach unten beschränkt ist, da hier eine monoton fallende Folge vorliegt. Es gilt aber \( a_{n+1}>0 \) also ist die Behauptung auch bewiesen.
Nun noch zum Grenzwert. Da die Folge nun konvergiert, weiss man, dass \( a_{n+1} \) und \( a_n \) gegen den gleichen Grenzwet konvergiert. Also kann man den Grenzwert wie folgt berechnet werden
$$ x=\sqrt{x+c} $$ Und daraus folgt
$$ x=-\frac{1}{4} \pm \sqrt{\frac{1}{4}+c} $$
Die Lösung mit dem negativen Vorzeichen vor der Wurzel entfällt, weil nur positive Lösungen zulässig sind.
