Grenzwert/Limes von a^{-n} * n^k

Question

ich weiß leider nicht, wie ich diesen Grenzwert

lim _n→∞ a^-n · n^k   für k∈ℕ, a>1

 

berechnen soll. Mir ist bewusst, dass der Exponent von a^-n schneller ansteigt (bzw. absteigt wegen dem -) als das n^k 

Außerdem kann man es umformen in:

lim _n→∞ a^-n · n^k =  lim _n→∞ (1/aⁿ ) * n^k

Der linke Term geht gegen 0, der rechte gegen ∞. Aber die Formulierung "0·∞" ist legitim.

 

Wie kann ich hier verfahren?

 

Answer 1

Hi,

da \( a>1 \) gilt, kann man a auch schreiben als \( a=1+x \) mit \( x>0 \)
Damit kann man weiter schreiben
$$ a^n=(1+x)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}x^k\gt\binom{n}{k+1}x^{k+1}= $$
$$ \frac{x^{k+1}}{(k+1)!}\prod_{t=1}^{k+1}(n-t+1)\ge \frac{x^{k+1}}{(k+1)!}n(n-k)^k\ge $$
$$ \frac{x^{k+1}}{(k+1)!}n \left( \frac{n}{2} \right)^k  $$ für \( n> 2k \)

Daraus folgt

$$ \frac{n^k}{a^n}\ge \frac{1}{n}\cdot \frac{(k+1)!2^k}{x^{k+1}} $$
Das geht gegen 0 für n gegen unendlich.

Comments

Ist die letzte Ungleichung verkehrt?

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Ja, das war ein Tippfehler. Ich habe ja \( a^n \) immer mit \( \ge \) abgeschätzt, da \( a^n \)   jetzt im Nenner steht, muss das Ungleichungszeichen sich umdrehen.