Quadratische Approximation bestimmen

Question

wie ich die lineare und quadratische Approximation einer expliziten Funktion bestimme ist mir klar. Für die quadratische Approximation gilt:

$$f(x)\quad ≈\quad f({ x }_{ 0 })+f'({ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 0 })+\frac { 1 }{ 2 } f''({ x }_{ 0 })(x-{ x }_{ 0 })^{ 2 }$$

Die Aufgabe lautet: Bestimmen Sie die quadratische Approximation für y=y(x) um x= 0, wenn x implizit als Funktion von x in der Nähe von (x,y) = (0,1) durch xy^3 +1 =y definiert ist.

Wenn ich mir jetzt die obige Formel anschaue benötige ich als erstes f(x₀). Wie erhalte ich denn diesen Wert bei der implizierten Funktion? Muss ich dafür 0 und 1 in die Ausgangsfunktion einsetzen?

Bei der expliziten Funktion würde ich mein x in die Funktion einsetzen und dann mein f(x₀) erhalten. Dann würde ich die Funktion ableiten und mein x in die abgeleitete Funktion einsetzen, womit ich dann mein f'(x₀) erhalte. 

Laut Lösung muss die implizite Funktion zunächst abgeleitet werden, was y³ + 3xy²y' = y' heißen würde. 

Kann mir jemand helfen wie ich hier vorgehen muss? 

Comments

Lies dir die Seite

https://de.wikipedia.org/wiki/Implizite_Differentiation

Mal durch und dann bildest du die 2 Ableitungen deiner Funktion und bestimmst damit dann deine quadratische Approximation

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Wenn ich die erste Ableitung bestimme erhalte ich y³+3xy²y' = y'

Ist das schon meine erste Ableitung, oder muss ich soweit zusammenfassen, dass ich nur ein y' dort stehen habe? 

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Die zweite Ableitung ist 

3y²y'+(3y²+6xyy')y'+3xy²y''=y''

 

Nun habe ich beide Ableitungen gebildet und muss das ganze nur noch in meine Formel bringen.

Ich weiß aber nicht wo ich x,y (0,1) und x = 0 einsetzen muss.

Answer 1

y³+3xy²y' = y'

Du solltest hier für x = 0 und y = 1 einsetzen können und damit y' bestimmen können. 

Lösung sollte 1 sein.

Genauso verfährst du mit der 2. Ableitung. für x = 0 für y = 1 und für y' dann die Ableitung einsetzen und nach y'' auflösen.

Lösung sollte dort 6 sein.

Damit kannst du dann dein Quadratisches Polynom aufstellen.

Lösung sollte dort p(x) = 1 + 1·x + 3·x^2 sein. 

Comments

Um die quadr. Approximation zu bestimmen brauche ich ja einmal f(x₀), f'(x₀) und f''(x₀)

Wenn ich die Funktion ableite und so wie du sagtest x und y einsetze, erhalte ich mein f'(x₀), was 1 ist. Dasselbe Spiel mit f''(x₀), was 6 ist. Nun aber muss ich doch noch f(x₀) irgendwie bestimmen. Also irgendetwas in die Ausgangsgleichung einsetzen. Aber x und y in die Ausgangsgleichung einzusetzen macht ja auch keinen Sinn. Wie ich auf f'(x₀) und f''(x₀) komme ist mir nun klar.

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Du hast doch x = 0 und y = 1 doch von anfang an als Punkt vorgegeben gehabt. also ist f(x0) = 1

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Ja genau, die hatte ich vorgegeben. Nur verstehe ich nicht wieso  f(x₀) = 1 ist.  

Anderes Beispiel, dass mein Problem verdeutlicht: Ich habe die explizite Funktion f(x) = $$\sqrt [ 3 ]{ x } \quad um\quad x\quad =\quad 1$$

Und soll die quadr. Approximation bestimmen. Hier ist mein f(x₀) = 1. Ich muss einfach das x=1 in die Funktion einsetzen um mein dann mein f(x₀) zu erhalten. Ich setze also einen Wert (das x) in die Ausgangsfunktion ein und erhalte einen Wert zurück, den ich in die Formel eintrage. Aber bei der implizierten Funktion kann ich doch gar keine Werte eintragen, bzw. das würde ja dann so aussehen:

xy³ + 1 = y

=> 

0*1³ + 1 = 1 mit x = 0 und y = 1

Ich hoffe es wird etwas klarer was mich so verwirrt, oder ich stehe einfach total auf dem Schlauch und erkenne etwas eindeutiges nicht...

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Der Punkt (0 | 1) ist gegeben weil er doch deine Gleichung erfüllt.

Du könntest auch x = 0 einsetzen und nach y auflösen

x·y^3 + 1 = y
0·y^3 + 1 = y
1 = y

Damit ist also y = 1 wenn x = 0 ist. Das wusstest du aber eh, weil der Punkt gegeben war.