Werte- und Definitionsbreich von +-(x(x^2-9))^{1/2}

Question

Ich habe ein Problem mit dem bestimmen vom Definitionsbereich und Wertevorrat. Bei einfachen Funktionen bekomme ich das noch hin. Aber bei folgender z.B. hänge ich

\( \pm \sqrt{x\left(x^{2}-16\right)} \)

ich habe jetzt die Nullstellen von x(x^2-16) berechnet

und komme dort auf x = 0, x= 4, x =-4   (hier würde ich auch gerne wissen, ob ich so die Nullstellen von Wurzelfunktionen berechnen kann)

Nun dachte ich erst, dass ich für x keine Werte zwischen - ∞ und 4 eingeben darf oder?

Aber x = 0 geht ja auch.

Answer 1

$$\sqrt{g(x)}$$ ist nur definiert wenn $$g(x)\geq 0$$. Hier sind also alle x zu bestimmen mit g(x)=x(x²-16)>0 bzw. =0. Die Funktion ist eine dritten Grades geht also von links unten nach rechts oben, für x < -4 ist also g(x)< 0, ebenso für 0< x< 4. Der maximale Definitionsbereich ist also $$[-4;0] \cup [4; \infty[$$