Aloha :)
$$f(x)=\ln\left(\frac23\sqrt[3]{1-\cos^2(x^2)}\right)=\ln\left(\frac23\cdot\left(\sin^2(x^2)\right)^{\frac13}\right)=\ln\frac23+\frac13\ln\left(\sin^2(x^2)\right)$$Wir müssen alle Argumente aus der Definitionsmenge streichen, für die die Sinus-Funktion zu Null wird, weil die Logarithmusfunktion dafür nicht definiert ist. Das sind alle \(x^2=n\cdot\pi\), die einem ganzzahligen Vielfachen von \(\pi\) entsprechen:$$D=\mathbb R\setminus\{x\in\mathbb R\,\big|\,x=\pm\sqrt{n\cdot\pi}\;;\;n\in\mathbb N_0\}$$
Für alle anderen \(x\in D\) gilt:$$0<\sin^2(x^2)\le1\implies\ln(\sin^2(x^2))\in(-\infty|0]$$Daher beträgt der Wertebereich der Fukntion:$$W=\left\{x\in\mathbb R\,\big|\,-\infty <x\le\ln\left(\frac23\right)\right\}$$
