Angabe für Werte- und Definitionsbereich

Question

Aufgabe:

Definitions- und Wertebereich von ln((2/3)*(1-(cos(x^(2)))²)^(1/3))

Problem/Ansatz:

Ich habe für den Definitionsbereich D = R ≠ 0 und für den Wertebereich W = ln(2/3). Der Rechner von Wolfram Alpha sagt aber was anderes.

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Text erkannt:

$f(x)=\ln \left(\frac{2}{3} \cdot \sqrt[3]{1-\cos ^{2}\left(x^{2}\right)}\right)$

Hier nochmal angenehmer zu lesen :)

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=\ln\left(\frac23\sqrt[3]{1-\cos^2(x^2)}\right)=\ln\left(\frac23\cdot\left(\sin^2(x^2)\right)^{\frac13}\right)=\ln\frac23+\frac13\ln\left(\sin^2(x^2)\right)$$Wir müssen alle Argumente aus der Definitionsmenge streichen, für die die Sinus-Funktion zu Null wird, weil die Logarithmusfunktion dafür nicht definiert ist. Das sind alle $x^2=n\cdot\pi$, die einem ganzzahligen Vielfachen von $\pi$ entsprechen:$$D=\mathbb R\setminus\{x\in\mathbb R\,\big|\,x=\pm\sqrt{n\cdot\pi}\;;\;n\in\mathbb N_0\}$$

Für alle anderen $x\in D$ gilt:$$0<\sin^2(x^2)\le1\implies\ln(\sin^2(x^2))\in(-\infty|0]$$Daher beträgt der Wertebereich der Fukntion:$$W=\left\{x\in\mathbb R\,\big|\,-\infty <x\le\ln\left(\frac23\right)\right\}$$

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Vielen Dank :)