Orthogonalität von Vektoren

Question

Ich habe ein Problem mit der folgenden Aufgabe, sie lautet:

Bestimmen sie alle Vektoren, die zu a und b orthogonal sind.

a.) a= (1 2 3) und b = (2 0 3)

b) a= (2 3 -1) und b = (5 -1 -2)

c) a= (1 2 5) und b = (4 -1 5)

Ich weiß, das man Orthogonalität vorliegt wenn das Skalarprodukt 0 ist.
Ich dachte, dass man vielleicht ein LGS aufstellen könnte.
Also für a)    x1+2x2+3x3=0

                     2x1+0x2+3x3=0

Jetzt habe ich 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Und wie rechne ich weiter?
Ich freue mich über jede Hilfe

Danke schon mal

Answer 1

dein Ansatz ist schon richtig. Subtrahiere nun die erste Gleichung von der zweiten und erhalte \(x_1-2x_2=0\), also ist \(x_1=2x_2\). Aus der zweiten Gleichung folgt nun \(3x_3=-2x_1=-2\cdot2x_2=-4x_2\), also ist \(x_3=-\frac43x_2\). Für die Lösungsvektoren gilt demnach \(x=(2x_2,x_2,-\frac43x_2)^T=\frac13x_2(6,3,-4)^T\) mit \(x_2\in\mathbb R\), d.h. alle Vielfachen des Vektors \((6,3,-4)^T\) stehen senkrecht auf den Vektoren \(a\) und \(b\).

Answer 2

 

ich weiß nicht, ob Du das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren schon kennst und auch benutzen darfst.

Wir tragen die Koordinaten der Richtungsvektoren senkrecht ein (die x- und y-Koordinate nochmals darunter):

1	2
2	0
3	3
1	2
2	0

Die 1. Zeile decken wir ab und rechnen

2. Zeile 1. Spalte * 2. Spalte 3. Zeile = 2 * 3,

dann

3. Zeile 1. Spalte * 2. Spalte 2. Zeile = 3 * 0

und ziehen das zweite Produkt vom ersten Produkt ab, also 2 * 3 - 3 * 0 = 6

Dann decken wir die 2. Zeile ab und machen mit den darunter liegenden Zeilen das Gleiche:

3 * 2 - 1 * 3 = 3

Und mit der 3. Zeile und den darunter liegenden Zeilen nochmal das Gleiche:

1 * 0 - 2 * 2 = -4

Also Ergebnis haben wir jetzt den Vektor

(6|3|-4)

Dieser steht senkrecht auf (1|2|3), denn

6 * 1 + 3 * 2 - 4 * 3 = 6 + 6 - 12 = 0

und auch senkrecht auf (2|0|3), denn

6 * 2 + 3 * 0 - 4 * 3 = 12 - 12 = 0

 

Cool, nicht wahr?

 

Besten Gruß

Comments

Vielen Dank für die schnelle Antwort.

Leider kenne ich das Kreuzprodukt nicht und mir fällt es etwas schwer die Rechenschritte nach zu vollziehen. Gibt es nicht auch eine andere Möglichkeit?
Kann man mit meinem Ansatz mit dem LGS nichts anfangen?

Liebe Grüße

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@Brucybabe: Nicht nur (6,3,-4)^T ist Lösung, sondern auch alle Vielfachen davon. Laut Aufgabentext sollen alle Lösungen bestimmt werden.

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@Gast hj19:

Damit hast Du natürlich Recht - danke für den Hinweis!

Auch danke für die Lösung, die dem Fragesteller sicherlich besser liegt.


@Gast jd20:

Siehe bitte die andere Lösung, die Dein LGS benutzt :-)