Beweis mit ax^2+ ßx+c

Question

Sei f: (a,b)-->R mit f(x) = ax²+ßx+c mit α,β,c∈R.

 

Zeigen sie : 

 

f(b)- f(a)/ b-a = f^´ ( a+b / 2 ).

Answer 1

$$ f(x)=\alpha x^2+\beta x+c\\f'(x)=2\alpha x+\beta\\f\left(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right)=\frac{\alpha b^2+ \beta b+c-(\alpha a^2+\beta a+c)}{b-a} =\frac{\alpha b^2-\alpha a^2+\beta b-\beta a}{b-a}=\frac{\alpha(b^2-a^2)+\beta(b-a)}{b-a}=\frac{\alpha \overbrace{(b-a)(b+a)}^{3. binomische Formel}+\beta(b-a)}{b-a}=\alpha(b+a)+\beta$$
$$f'\left(\frac{a+b}{2}\right)=2\alpha\left(\frac{a+b}{2}\right)+\beta=\alpha(a+b)+\beta$$