Tiefpunkt beweisen und Flächenstück berechnen

Question

Die Funktion f ist gegeben durch f=x²(x-1)(x-2).

a) Zeigen sie, dass der Punkt (0/0) ein Tiefpunkt des Graphen von f ist.

b) Der Graph von f schließt mit der x-Achse zwei Flächenstücke ein. Berechnen Sie, wie groß der Inhalt des Flächenstücks ist, das oberhalb der x-Achse liegt.

 

Wäre super nett wenn mir jemand hierbei helfen könnte :)

Answer 1

a) Du beweist einen Tiefpunkt, indem du überprüfst, ob die Ableitung für dieses x 0 beträgt, ob die zweite Ableitung an dieser Stelle größer als 0 ist (sonst ist es Hochpunkt oder Sattelpunkt) und ob die y-Koordinate stimmt. Also erst ausmultiplizieren, dann Ableitungen aufschreiben:

f(x) = x²·(x-1)·(x-2) = x²·(x² - 2x - x + 2) = x⁴ - 3x³ + 2x²
f'(x) = 4x³ - 9x² + 4x
f''(x) = 12x² - 18x + 4. Jetzt einsetzen:

f'(0) = 4·0³ - 9·0² + 4·0 = 0 →Stimmt, es gibt hier einen Extrempunkt.
f''(0) = 12·0² - 18·0 + 4 = 4 > 0 →Stimmt, der Extrempunkt ist ein Tiefpunkt
f(0) = 0⁴ - 3·0³ + 2·0² = 0 →Stimmt, der Punkt liegt bei y = 0

b) Dafür musst du zunächst die Nullstellen berechnen:

0 = x⁴ - 3x³ + 2x² |:x² →Durch das Teilen durch eine Potenz von x muss man als Möglichkeit immer 0 bedenken
0 = x² - 3x + 2 |binomische Ergänzung
0 = x² - 3x + 2,25 - 2,25 + 2 = (x - 1,5)² - 0,25 |+ 0,25
0,25 = (x - 1,5)² |√
±0,5 = x - 1,5 |+ 1,5
x = -0,5 + 1,5 = 1 oder x = 0,5 + 1,5 = 2

Es gibt also Nullstellen bei 0, 1 und 2. Jetzt musst du integrieren, also die Stammfunktion berechnen, damit du damit später den Flächeninhalt bestimmen kannst;

F(x) = 1/5x⁵ - 3/4x⁴ + 2/3x³

Die Fläche beträgt jetzt:

A = |Integral von f(x) von 0 bis 1| + |Integral von f(x) von 1 bis 2) = |1/5·1⁵ - 3/4·1⁴ + 2/3·1³| + |(1/5·2⁵ - 3/4·2⁴ + 2/3·2³)-(1/5·1⁵ - 3/4·1⁴ + 2/3·1³)| = |7/60| + |-4/15 - 7/60| = 7/60 + 23/60 = 1/2

LG Florian

Answer 2

f(x) = x²(x-1)(x-2) = x²(x² - 3x + 2) = x⁴ - 3x³ +2x²

zu a)

f'(x) = 4x³ - 9x² +4x

Notwendiges Kriterium für ein Extremum f'(x) = 0

0 = 4x³ - 9x² +4x = x*(4x² - 9x +4) -> x_E1 = 0

Hinreichendes Kriterium für ein Extrema f''(x) ≠ 0

f''(x) = 12x² - 18x +4

f''(0) > 0 -> Tiefpunkt (0|f(x = 0)) -> Tiefpunkt (0|0)

zu b) Hier sind erstmal die Nullstellen von f(x) gefragt 

Aus f(x) = x²(x-1)(x-2) folgen die Nullstellen x₁ = 0, x₂ = 1 und x₃ = 2. Nun muss man untersuchen, ob der Graph von f(x) unterhalb oder oberhalb der x-Achse in den Intervallen

a)  0 ≤ x ≤ 1 und

b) 1 ≤ x ≤ 2 verläuft.

zu a) Da bei (0|0) ein Tiefpunkt vorliegt, verläuft der Graph von f(x) rechts von Null oberhalb der x-Achse.

zu b) Im Intervall zwischen x = 1 und x = 2 verläuft der Graph f(x) unterhalb der x-Achse (kann man zeigen über Einsetzen in f(x) oder über Berechnung des zweiten Extrema).

 -> A = | ∫₀¹ f(x) dx| = |∫₀¹ (x⁴ - 3x³ + 2x²) dx| = |[ x⁴⁺¹/(4+1) - 3*x³⁺¹/(3+1) + 2*x²⁺¹/(2+1)]₀¹ | = | [ x⁵/(5) - 3*x⁴/(4) + 2*x³/(3)]₀¹| = |1/5 - 3/4 + 2/3 | = 0,1167 FE

Answer 3

Die Funktion f ist gegeben durch f=x²(x-1)(x-2).
a) Zeigen sie, dass der Punkt (0/0) ein Tiefpunkt des Graphen von f ist.

f ( x ) = x^2 * ( x -1 ) * ( x-2 )  | ich multipliziere einmal aus
f ( x ) = x^2 * ( x^2  -3 * x + 2  )
f ( x ) = x^4 - 3 * x^3 + 2 * x^2
f ´( x ) = 4 * x^3 - 9 * x^2 + 4 * x
Stellen mit waagerechter Tangente
 4 * x^3 - 9 * x^2 + 4 * x = 0
x * (  4 * x^2 - 9 * x + 4  ) = 0
1 Lösung x = 0
Der Punkt ergibt sich zu ( 0 | 0 )
f ´´ ( x )  = 12 * x^2 - 18 * x  + 4
f ´´( 0 ) = 4 | positiv, also Tiefpunkt
Der Punkt ( 0 | 0 ) ist ein Tiefpunkt.

b) Der Graph von f schließt mit der x-Achse zwei Flächenstücke ein.
Berechnen Sie, wie groß der Inhalt des Flächenstücks ist,
das oberhalb der x-Achse liegt.
f ( x ) = x^2 * ( x -1 ) * ( x-2 )
Nullstellen
x = 0
x = 1
x = 2
Vom Tiefpunkt ( 0  | 0 )  geht es links und rechts nach oben
in den positiven Bereich.
Nach rechts schließt sich u.a. ein weiterer Nullpunkt bei
x = 1 an. Der Graph ist also von x = 0 bis x = 1 im
postiven Bereich gewesen.
Die Integrationsgrenzen sind 0 und 1.
f ( x ) = x^4 - 3 * x^3 + 2 * x^2
Stammfunktion bilden
F ( x ) = x^5 / 5 - 3 * x^4 / 4 + 2 * x^3 / 3
A ( x ) = F ( 1 ) - F ( 0 )
A ( x ) = 1 / 5 - 3 / 4 + 2 / 3

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mfg Georg