Beweisführung bei Exponentialfunktionen. Behauptung: 0,25e^x + 2 ≥ 3 – e^{-x}

Question

Ich bräuchte Hilfe bei meiner Beweisführung. Kann mir das jemand an einer Beispielaufgabe erklären?

Die Funktionen f mit f(x) = 0,25e^x + 2 und g mit g(x) = 3 – e^{-x} sowie die zugehörigen Schaubilder K von
f und G von g seien gegeben. Beweise, dass für alle x gilt f(x) ≥ g(x).

Answer 1

Wir müssen beachten, dass es sich um 2 stetige Funktionen handelt. Wir überprüfen erstmal auf Schnittpunkte

f(x) = g(x)
0.25e^x + 2 = 3 - e^{-x}
0.25e^x - 1 + e^{-x} = 0
(e^x)^2 - 4e^x + 4 = 0
e^x = 2
x = ln(2)

Es gibt also einen Schnittpunkt bei ln(2).

Nun bräuchten wir nur recht und links von ln(2) etwas einsetzen und Zeigen das f(x) > g(x) ist.

f(0) > g(0)
0.25e^0 + 2 = 3 - e^{0}
2.25 > 2

Stimmt

f(2) > g(2)
0.25e^2 + 2 > 3 - e^{-2}
3.847264024 > 2.864664716

Stimmt auch.

Damit haben die Funktionen nur eine Stelle bei ln(2) wo der Funktionswert gleich ist.