Binomialverteilung für große Stufenzahlen (Aufgabe)

Question

Ich komme mit dieser Aufgabe leider nicht zurecht:
Von einer Binomialverteilung sind bekannt:

a) Mü = 36 und Sigma = 3. Bestimmten Sie hieraus den Stichprobenumpfang n und die Erfolgswahrscheinlichkeit p.

b) n = 72 und Sigma = 2. Bestimmen Sie die Erfolgswahrscheinlichkeit p. Ist dies eindeutig möglich?

c) p = 0,4 und Sigma = 6. Bestimmen Sie den Erwartungswert Mü.

Ich hoffe ihr könnt mir bei der Aufgabe helfen, da ich es einfach nicht verstehe ;))

Answer 1

a)

Bei der Binomialverteilung gilt :

Mü = n * p

Sigma = √ ( n * p * ( 1 - p )

 

Mit Mü = 36 und Sigma = 3 ergibt sich daher das Gleichungssystem:

n * p = 36
√ ( n * p * ( 1 - p ) ) = 3

<=>

n * p = 36
√ ( 36 * ( 1 - p ) = 3

<=>

n * p = 36
6 √ ( 1 - p ) = 3

<=>

n * p = 36
√ ( 1 - p ) = 0,5

<=>

n * p = 36
( 1 - p ) = 0,25

<=>

n * p = 36
p = 1 - 0,25 = 0,75

<=>

n * 0,75 = 36
p = 0,75

<=>

n = 48
p = 0,75

b)

Sigma = √ ( 72 * p * ( 1 - p )  ) = 2

<=> 72 * p * ( 1 - p )  = 4

<=> 72 p - 72 p ² = 4

<=> 72 p ² - 72 p = - 4

<=> p ² - p  = - 1 / 18

<=> p ² - p + ( 1 / 2 ) ²  = ( 1 / 2 ) ² - 1 / 18

<=> p - ( 1 / 2 ) = √ ( ( 1 / 2 ) ² - 1 / 18 )

<=> p = ± √ ( ( 1 / 2 ) ² - 1 / 18 ) + ( 1 / 2 )

=> p ≈ 0,941 oder p ≈ 0,059

Die Erfolgswahrscheinlichkeit p ist also im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmbar

c)

Mü = n * p = n * 0,4

Sigma = √ ( n * p * ( 1 - p ) = 6

<=>

Mü = n * 0,4
√ ( n * 0,4 * ( 1 - 0,4 ) = 6

<=>

Mü = n * 0,4
√ ( n * 0,4 * 0,6 ) = 6

<=>

Mü = n * 0,4
n * 0,24 = 36

<=>

Mü = n * 0,4
n = 36 / 0,24 = 150

<=>

Mü = 150 * 0,4 = 60
n = 36 / 0,24 = 150

Also:

Mü = 60