Außen sehe ich ein (z)^2 und wende daher die Kettenregel an. Die lautet äußere Ableitung * innere Ableitung.
z^2 = (x * ln(x))^2 ergibt abgeleitet also
2z = 2*(x * ln(x)) = 2x * ln(x)
Das langt noch nicht und wir müssen mit der inneren Ableitung multiplizieren. Innen sehe ich ein Produkt und leite daher mit der Produktregel ab
u * v = x * ln(x)
u' * v + u * v' = 1 * ln(x) + x * 1/x = ln(x) + 1
Multipliziert man jetzt innere mit äußerer Ableitung erhält man
f '(x) = 2x * ln(x) * (ln(x) + 1) = 2x * (ln(x))^2 + 2x * ln(x)
Jetzt kann man sich auch an die 2. Ableitung machen
f '(x) = 2x * (ln(x))^2 + 2x * ln(x)
Wichtig hier ist die Summenregel, Produktregel und die Kettenregel wieder für das Quadrat.
f ''(x) = (2 * (ln(x))^2 + 2x * 2 * ln(x) * 1/x) + (2 * ln(x) + 2x * 1/x)
f ''(x) = (2 * (ln(x))^2 + 4 * ln(x)) + (2 * ln(x) + 2)
f ''(x) = 2 * (ln(x))^2 + 6 * ln(x) + 2)