Ableitung von (x mal ln(x))^2

Question

Wie leite ich das denn ab? Stehe leider auf dem Schlauch...

Answer 1

f(x) = (x * ln(x))^2

f '(x) = 2 * (x * ln(x)) * (1 * ln(x) + x * 1/x) = 2 * x * ln(x) * (ln(x) + 1)

Comments

wie komme ich denn darauf? wie ist der genaue rechenweg, welche regeln wurden angewendet? und wie würde ich nun noch die 2.ableitung berechnen

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Außen sehe ich ein (z)^2 und wende daher die Kettenregel an. Die lautet äußere Ableitung * innere Ableitung.

z^2 = (x * ln(x))^2 ergibt abgeleitet also
2z = 2*(x * ln(x)) = 2x * ln(x)

Das langt noch nicht und wir müssen mit der inneren Ableitung multiplizieren. Innen sehe ich ein Produkt und leite daher mit der Produktregel ab

u * v = x * ln(x)
u' * v + u * v' = 1 * ln(x) + x * 1/x = ln(x) + 1

Multipliziert man jetzt innere mit äußerer Ableitung erhält man

f '(x) = 2x * ln(x) * (ln(x) + 1) = 2x * (ln(x))^2 + 2x * ln(x)

Jetzt kann man sich auch an die 2. Ableitung machen

f '(x) = 2x * (ln(x))^2 + 2x * ln(x)

Wichtig hier ist die Summenregel, Produktregel und die Kettenregel wieder für das Quadrat.

f ''(x) = (2 * (ln(x))^2 + 2x * 2 * ln(x) * 1/x) + (2 * ln(x) + 2x * 1/x)
f ''(x) = (2 * (ln(x))^2 + 4 * ln(x)) + (2 * ln(x) + 2)
f ''(x) = 2 * (ln(x))^2 + 6 * ln(x) + 2)

Answer 2

Hier verknüpft man Ketten- und Produktregel geeignet.

Erst mal hast du eine äussere Funktion u^2.

Ableitung davon 2u. Also 

und eine innere Funktion u= x * lnx

Diese muss man einerseits in 2u einsetzen.

Andererseits selbst noch ableiten (nach Produktregel) und als Faktor dazuschreiben.

(x* lnx) ' = 1* ln + x * 1/x = lnx + 1

Jetzt alles zusammen einsetzen

f(x) = (x * ln(x))^2

f ' ( x ) = 2 u * u' = 2(x lnx) (lnx + 1) = 2x (lnx)^2 + 2x lnx oder

= 2x*( (lnx)^2 + lnx)

Comments

danke! also wenn ich nun die 2.Ableitung bilde komme ich auf:

f''(x) = (2*(lnx)^2 + lnx) + (2(lnx) * 1/x + 1/x) * x^2

 

ist das erstmal richtig?

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Nach Produktregel hast du einen Faktor 2x und nicht x^2 im 2. Summanden. Beim ersten Summanden hast du eine Klammer am falschen Ort.

f''(x) = 2*((lnx)^2 + lnx) + 2x *(2(lnx) * 1/x + 1/x)

                   |ausmultiplizieren und im 2. Tell mit x kürzen

= 2 (lnx)^2 + 2 lnx + 4 lnx + 2

= 2 (lnx)^2  + 6 lnx + 2

Kontrollieren kannst du das Resultat der Umformung zB. hier https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%29%3D+2x*%28+%28lnx%29%5E2+%2B+lnx%29