Question

Koeffizientenvergleich durchführen:

\( 4 a t \cdot \sin (2 t)-12 b t \sin (2 t)+4 b t \cdot \cos (2 t)+4 a \cdot \cos (2 t) \)
\( +4a \cdot \sin (2 t)+ 8\operatorname{at} \cdot \cos (2 t)+4 b \cdot \cos (2 t)=16 \sin (2 t) \)

Wie gehe ich hier vor um a und b herauszufinden?

Comments

Das ist meiner Meinung nach falsch. Du kannst 4 Gleichungen aufstellen (kannst Du das auch?), welche aber keine gemeinsame Lösung haben.

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Also ich möchte mit dieser gleichung eine inhomogene dgl 2. ordnung lösen.

x''+4x'+8x=16sin(2t)   mit x(0)=1 und x'(0)=2


Also da die terme mit der zeit sehr lang und unübersichtlich werden habe ich alles ganz ausführlich zusammen gefasst.
das t macht schwierigkeiten..

Danke für deine hilfe!

Answer 1

So, jetzt können wir arbeiten^^. Was Du da hast, stimmt leider tatsächlich nicht. Schon weil Dein Ansatz unnötig "groß" war.

 

Für die partikuläre Lösung lohnt sich der Ansatz:

x = Asin(2t) + Bcos(2t)

Damit:

x' = 2Acos(2t) - 2Bsin(2t)

x'' = -4Asin(2t) - 4Bcos(2t)

 

Einsetzen (sin(2t) = s und cos(2t) = c):

(-4A*s - 4B*c) + 4*(2A*c - 2B*s) + 8*(A*s + B*c) = 16*s

Sortieren wir nach s und c:

(-4A-8B+8A)*s + (-4B+8A+8B)*c = 16*s

Vergleichen (und zusammenfassen):

4A-8B = 16

4B+8A = 0

 

--> A = 4/5 und B = -8/5

 

Damit ist die partikuläre Lösung:

x_p = 4/5*sin(2t) - 8/5*cos(2t)

 

Die homogene Lösung hast Du schon, ja? :)

Achte natürlich darauf, dass obiger Ansatz nur funktioniert, wenn kein Resonanzfall vorliegt (hier nicht der Fall).

Alles klar?

 

Grüße

Comments

Ja die Lösung der homogenen Gleichung habe ich. Dankeschön!
Das mit der Resonanz habe ich bereits gehört aber leider vergessen darauf zu achten.


DANKE!!

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Hat ja hier nichts ausgemacht :D.

Dann nur noch Anfangsbedinungen einsetzen ;).

Gerne.