Reihe divergente Minorante oder konvergente Majorante: Bsp: an:= ∑ 1 / ³√(n^4+5n+3)

Question

Hallo...

habe eine sehr wichtige frage:

also beim majoramtenkriterium schatzen wir nach oben durch eine konvergente reihe und bei minorantenkriterium schatzen wir nach unten gegen eine divergente reihe.

wenn ich eine  reihe habe die gegen 0 konvergiert ( ich weiss nicht ob ich das so sagen kann) aslo das immer kleiner wird und sich der null annahert... Soll ich da das minorantenkriterium anwenden? Weil es  kleiner wird? Also nach unten abschatzen...

ich bin bei reihen ziemlich unsicher

zum beispiel die reihe 

a_n:= ∑1/³√n⁴+5n+3

ich habe nun werte für n eingesetz und bekam:

0,48...+0,32....+0,21...+0,15...+....

Comments

Gehe ich richtig in der Annahme, dass die 3 auch noch unter dieser Wurzel unter dem Bruchstrich steht?

Klammere das bitte so: 

a_n:= ∑ 1 / ³√(n⁴+5n+3)

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Ja die Formeln heis 1 durch die dritte wurzel aus (). Ich habe einiges versucht aber ich bekomme keine geeignete Minarante hin die für jedes n unterhalb dieser Reihe ist.

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Tipp: Schätze nach oben durch \(n^{-\frac43}\) ab und wende das Integral-Vergleichskriterium für Reihen an.

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Integral-Vergleichskriterium dürfen wir nicht verwenden wenn es nicht im Skript steht (Aufgabe für Analysis I). Ich habe mir mal die Folge n^-4/3 im vergleich zu Aufgabe angeschaut. Diese Folge ist größer als in der Aufgabe. Muss sie nicht kleiner sein - so das sie eine Majorante ist. Kann ich annehmen das die Ursprüngliche Folge gegen einen bestimmten Wert konvergiert wenn ja wie ermittel ich den Grenzwert von diesem Ding (Grundlagen sind klar nur die Wurzel stört).

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Es ist gerade umgekehrt. \(n^{-\frac43}\) ist tatsächlich größer als in der Aufgabe und damit Majorante. Da du das Integral-Vergleichskriterium aber nicht anwenden darfst, nützt das leider nicht.

Answer 1

Das Majorantenkriterium nutzt man, um die Konvergenz einer Reihe nachzuweisen, indem man nach oben abschätzt und die Konvergenz der Abschätzung zeigt.

Das Minorantenkriterium nutzt man, um die Divergenz einer Reihe nachzuweisen, indem man nach unten abschätzt und die Divergenz der Abschätzung zeigt.

Folglich: Wenn du eine Reihe hast, bei der du vermutest, dass sie konvergiert, solltest du auch ein Konvergenzkriterium, also das Majorantenkriterium versuchen.

Comments

Danke das ist mir auch klar.

nur woher weiss ich denn vorher das die folge konvergiert oder nicht? Sollte icb vorher wirklich werte für n einsetzen?

bei dem begriff konvergenz bin ich mir auvh nicht sicher.

ich weiss nur das eine konvergente folge nur einen haufungswett und bei divergenz 2 Hw.

danke für deine hilfe :)

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Danke Lu

an:= ∑ 1 / 3√(n4+5n+3)