Zeige: Integral über f existiert. f(x):= 0, falls x ∈ [0,1] \ ℚ und f(x):=1/q, falls x ∈ ℚ∩[0,1]

Question

Sei f : [0,1] → ℝ mit

f(x)=

0, falls x ∈ [0,1] \ ℚ

1/q, falls x ∈ ℚ∩[0,1] und x = p/q die gekürzte Darstellung ist (p ∈ ℕ₀, q ∈ ℕ)

Zeigen Sie, dass f in jedem x ∈ [0,1] \ ℚ stetig ist. Folgern Sie, dass das Integral

\( \int \limits_{0}^{l} f(x) d x \)

existiert und den Wert 0 hat.

Hinweis zur Stetigkeit: Es gibt nur endlich viele Brüche zwischen 0 und 1 mit vorgeschriebenem Nenner!

Comments

(Hinweis zur Stetigkeit: Es gibt nur endlich viele Brüche zwischen 0 und 1 mit vorgeschriebenem Nenner!)

Weisst du noch, wie die vorgeschriebenen Nenner gezählt wurden?