Lies auch mal hier:
https://de.wikipedia.org/wiki/Partialbruchzerlegung
Aus dem Ansatz:
$$\frac { t }{ (t+1)({ t }^{ 2 }+1) } =\frac { a }{ t+1 } +\frac { bt+c }{ { t }^{ 2 }+1 }$$$$\Leftrightarrow t=a({ t }^{ 2 }+1)+(bt+c)(t+1)$$$$\Leftrightarrow t=a{ t }^{ 2 }+a+b{ t }^{ 2 }+bt+ct+c$$$$\Leftrightarrow 0{ { *t }^{ 2 } }+t+0=(a+b){ t }^{ 2 }+(b+c)t+(a+c)$$
erhält man durch Koeffizientenvergleich das Gleichungssystem:
$$a+b=0$$$$b+c=1$$$$a+c=0$$
mit der Lösung
$$a=-\frac { 1 }{ 2 }$$$$b=c=\frac { 1 }{ 2 }$$
Also ist:
$$\frac { t }{ (t+1)({ t }^{ 2 }+1) } =\frac { -\frac { 1 }{ 2 } }{ t+1 } +\frac { \frac { 1 }{ 2 } t+\frac { 1 }{ 2 } }{ { t }^{ 2 }+1 }$$$$=\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { t+1 }{ { t }^{ 2 }+1 } -\frac { 1 }{ t+1 } \right)$$
und damit:
$$\int { \frac { t }{ (t+1)({ t }^{ 2 }+1) } dt }$$$$=\int { \frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { t+1 }{ { t }^{ 2 }+1 } -\frac { 1 }{ t+1 } \right) } dt$$$$=\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { t+1 }{ { t }^{ 2 }+1 } -\frac { 1 }{ t+1 } } dt$$$$=\frac { 1 }{ 2 } \int { \frac { t }{ { t }^{ 2 }+1 } +\frac { 1 }{ { t }^{ 2 }+1 } -\frac { 1 }{ t+1 } } dt$$$$=\frac { 1 }{ 2 } \left( \frac { 1 }{ 2 } ln({ t }^{ 2 }+1)+arctan(t)-ln(t+1) \right)$$$$=\frac { 1 }{ 4 } ln({ t }^{ 2 }+1)-\frac { 1 }{ 2 } ln(t+1)+\frac { 1 }{ 2 } arctan(t)+C$$
