Bestimmen Sie den Grenzwert der Reihe

Question

∑ (n=0 bis ∞) n⁵/n!

Hilfe. Mich Interessiert das nur...

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\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{n^{k}}{n !}=B_{k} \cdot e \quad, \quad \) wobei die \( B_{k} \) Bell'sche Zahlen sind.
Es ist \( B_{5}=52 \)

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Leider kann ich nicht nachvollziehen was du damit meinst. PS: ich bin noch in der Realschule, aber einiges kann ich schon

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Ich denke, die exakte Bestimmung des Grenzwertes dieser Reihe ist schwierig. Man kann es aber numerisch machen, indem man die Konvergenz der Reihe z.B. mit dem Quotientenkriterium nachweist und dann mit dem Computer die Reihe für hohe Zahlen berechnet.

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hm, Quotientenkriterium als Konvergenzkriterium  kennst du bei Reihen?

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Nein leider nicht :(

aber Quotientenkriterium weil das ein Brucht ist?

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wo hast dann die Aufgabe her? :)

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Ich habe etwas gefunden. Aber ich bezweifel, dass du es verstehst.

Angenommen es gibt Zahlen \( \zeta_{k} \) die die Gleichung
\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{n^{k}}{n !}=e \cdot \zeta_{k} \)
erfüllen, wobei \( \zeta_{0}:=1 \) gerade durch die exp-Reihe gegeneben ist. Dann müssen sie auch die Rekursionsrelation (im Induktionsschritt: benutze Indexverschiebung und Binomischen Lehrsatz)
\( \sum \limits_{i=0}^{k}\left(\begin{array}{l}\boldsymbol{k} \\ i\end{array}\right) \zeta_{i}=\zeta_{k+1} \)
erfüllen. Diese Rekursionsrelation mit \( \zeta_{0}=1 \) erfüllen gerade die Bellschen Zahlen.

Fazit:

∑ (n=1 bis ∞) n^5 / n! = 52 e

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Nein so etwas verstehe ich noch nicht :(

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Wenn das nicht aktueller, prüfungsrelevanter Stoff ist, würde ich mich darin nicht so sehr vertiefen.

Ich selbst hatte sowas erst im Grundstudium gehabt.

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klingt zwar jetzt blöd was ich sage, aber ich bin nicht mal in der oberstufe :)

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Und ich hatte das nicht mal im Hauptstudium. Aber ich habe ja auch nicht Mathe studiert :)

Answer 1

Hi Emre,

nur damit jede Deiner Fragen (glaub ich^^) auch eine Antwort hat, hier noch das Ergebnis.

-> 52e ≈ 141,35

Dass das nicht ohne weiteres zu berechnen ist, wurde Dir ja schon gesagt.

Grüße ;)

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Ich kann mich gar nicht dran erinnern...an diese Frage Oo
^^

Danke :-)^^