Rotationsvolumen berechnen. Graph von y= x^4-8x^2+5 rotiert um die x-Achse.

Question

Wie berechne ich das Rotations-Volumen um die x-Achse der Funktion: x⁴-8x²+5

Die Formel ist klar. Aber welche grenzen muss ich nehmen und muss ich beim quadrieren der Funktion etwas beachten?

oder stimmt: x⁸-64x⁴+25

?

 

Comments

x⁸-64x⁴+25 stimmt leider nicht ganz. 

Du musst jeden Faktor mit jedem multiplizieren. Resultat davon vgl. 

'alternate form' hier:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%5E4-8x%5E2%2B5%29%5E2+

Answer 1

Am besten wäre natürlcih eine Skizze.
Diese kannst du dir mit dem Funktionsplotter
( oben rechts auf dieser Seite ) zeichnen lassen

Ansonsten schauen wir einmal nach wo die
Nullstellen der Funktion ( Anfang und Ende der
Rotationsfigur ) sind.

z = x^2
x⁴-8x²+5

z^2 - 8 * z + 5 = 0  | pq-Formel oder quadratische Ergänzung
z^2 - 8 * z + 4^2 = -5 + 4^2
( z - 4 )^2 = 11
z - 4 = ± 3.317
z = 7.317
z = 0.683
z = x^2
x = ±√ 7.317
x =  ±√ 0.683
x = ± 2.705
x = ± 0.827
Der Graph schneidet  die x-Achse
bei x = -2.705 und  x = - 0.827
bei x = -0.827 und x = 0.827
bei x = 0.827 und x = 2.705

Fläche an der Stelle x
A ( x ) = π * f ( x )^2
A ( x ) = π * ( x^4 - 8 * x + 5 ) * ( x^4 - 8 * x + 5 )
A ( x ) = ausmultiplizieren

Dann die Stammfunktion bilden
und die Integrationsgrenzen einsetzen.
V1 = 9162.82 ( korrigiert 937.35 )
V2 = 210.71
V3 = 9162.82 ( korrigiert 937.35 )

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mfg Georg

Comments

Bis zu den Nullstellen kenne ich mich aus.

Im Löungsbuch sind die Lösungen:

A= 31,39  
V= 770,38

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Die Stammfunktion für die Fläche wäre
S ( x ) = ∫ f ( x ) dx
S ( x ) = ∫  x⁴ - 8 * x + 5  dx
S ( x ) = x^5 / 5 - 8 * x^2 / 2 + 5 * x
Integral zwischen -0.827 und 0.827 = 5.4
Integral zwischen 0.827 und 2.705 = 12.99
Fläche insgesamt = 2 * 12.99 + 5.4 = 31.39  | stimmt

A ( x ) = π * f ( x )^2
Stammfunktion Volumen
∫ A ( x ) dx
zwischen -0.827 und 0.827 wäre das Volumen = 210.71
zwischen 0.827 und 2.705 wäre das Volumen = 937.35
Volumen  insgesamt = 2 * 937.35 + 210.71

Das in der Lösung angegebene Volumen von 770.38
kann so nirgends bilden.

 

 

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danke, ich werde mir das mal genauer ansehen :)