Wie kann ich einen Punkt um einen anderen rotieren und die Koordinaten berechnen?

Question

Hi, ich versuche herauszufinden, wie ich einen Punkt P₁ (x, y, z) um einen anderen Punkt P₂ (x, y, z) drehen kann. Ich möchte die neuen Koordinaten (Zielkoordinaten) berechnen.

Es liegen vor: Koordinaten X, Y und Z der beiden Punkte und ein Drehungswinkel.

Ein Beispiel im Zweidimensionalen: Wir haben Punkt A (0, 0) (Z außer acht gelassen) und Punkt B (3, 5). Der Abstand zwischen ihnen ist Wurzel (3² + 5²). Nun drehe ich Punkt B ganze 90 Grad um Punkt A. Man "sieht" grafisch, dass der Punkt B bei (-5, 2) landet. Aber ich möchte es rechnerisch ermitteln können!

Und außerdem: Wie kann ich den rotierten Winkel zwischen diesen Punkten berechnen, wenn ich die Koordinate "davor" und "danach" kenne. Welche weiteren Möglichkeiten gibt es? 

Bin froh über jede Hilfe!

 

Answer 1

Die Kreisbewegung kann man sich ja auch als Schwingung veranschaulichen und die kann man mit Sinus und Cosinus in der Form a * cos(phi + phi0) bzw. a * sin(phi + phi0) beschreiben. Der Radius r ist die Amplitude a und den hast du ja schon mit r = sqrt(3^2 + 5^2). phi0, der Anfangswinkel, ist Gegenkathete / Ankathete = Tangens. Also tan(phi0) = GK/AK = y/x = 5/3. Mit dem Arcustangens bekommst du also den Winkel phi0 = tan^-1(y/x) = tan^-1(5/3) = 59°. Damit hätten wir, da r = a = sqrt(3^2 + 5^2) und phi0 = 59°: sqrt(3^2 + 5^2) * cos(phi + 59°). Und phi ist der Betrag, um den du den Punkt drehst, also deine 90°.

x = sqrt(3^2 + 5^2) * cos(90° + 59°) = -5.

Für y verwendest du den Sinus:

y = sqrt(3^2 + 5^2) * sin(90° + 59°) = 3

Der Winkel zwischen (3,5) und (-5,3) beträgt dann deine 90°.

 

Hier ist z.B. der Zusammenhang zwischen den Winkelfunktionen und der Kreisbewegung erklärt: http://www.schulphysik.de/java/physlet/applets/pendel2.html oder suche hier http://www.verstehenblog.de/?page_id=327

Answer 2

Im Dreidimensionalen müsstest du Drehung um einen Punkt etwas genauer beschreiben. Die Richtung der Drehung ist erst bei einer Drehachse wirklich vorgegeben. Ohne diese Vorgabe lieget der Bildpunkt irgendwo auf einem Kreis, der senkrecht zur durch die beiden Punkten vorgegebenen Achse liegt.

Ist die Drehung aber mit Winkel und Rotationsachse vorgegeben kann man auch mit sog. Rotationsmatrizen arbeiten.

 

Im Zweidimensionalen kannst du auch mit komplexen Zahlen oder mit Matrizen Drehungen um den Koordinatenursprung darstellen.

Du benutzt hier eine Eigenschaft der Multiplikation von komplexen Zahlen: Winkel werden addiert, Radien multipliziert. Multiplikation mit einer komplexen Zahl a ≠0 beschreibt also eine Drehstreckung in der komplexen Zahlenebene

Bei der komplexen Darstellung ist dein B die Zahl z = 3 + 5i. 

Zur Drehung um den Winkel φ benötigt man eine Zahl a mit dem Winkel φ und dem Radius 1. Man schreibt dafür

a = e^iφ = cos φ + i sin φ

Im Beispiel: Da φ = 90° = π/2 ist: einfach a= i

Die Rotation rechnet man: i*(3+5i) = 3i - 5 . Das entspricht dem gesuchten Punkt B' (-5/3).

In den Spalten von Matrizen stehen die Bildvektoren der beiden Basisvektoren des Koordinatensystems in den Spalten der Matrizen

Für eine Drehung um φ ist das die Rotationsmatrix

Du bekommst wie gewünscht den Bildpunkt B'(5/-3)

Bei Drehungen um einen andern Punkt verknüpfst du 2 Translationen und eine Drehung: Führe zuerst mit einer Translation (Addition) das Zentrum in den Koordinatenursprung, dann drehst du um das Zentrum. Den Bildpunkt und das Zentrum verschiebst du jetzt wieder so, dass das Zentrum am ursprünglichen Ort liegt.

 

Wenn du die Koordinaten vor und nach der Drehung und das Drehzentrum kennst, kannst du den Drehwinkel am einfachsten mit dem Skalarprodukt berechnen. Dazu benutzt du die Vektoren