Flächenstücke,die um die x-Achse rotieren

Question

Aufgabe:

Die beiden Kurven f und g begrenzen Flächenstücke,die um die x-Achse rotieren

f: x²+y²=34

g:x²-y²=16

Problem/Ansatz:

Berechnen das Volumen der entstehenden Rotationskörper?

Muss erst die Kurven gleichsetzen oder?

Ich wäre sehr dankbar für die ausführliche Antwort !

Comments

Die Frage ist meiner Meinung nach etwas
falsch gestellt. Es soll wohl heißen  :

Berechne die Schnittfläche zwischen f und g
und laß diese als Rotationskörper
um die x-Achse kreisen.
Zu berechnen : Schnittstelle zwischen
f und g. Nullstellen von f und g, Volumen der / des Rotationsköpers.

Answer 1

Wie in Rolands Skizze gut zu erkennen solltest du die Nullstellen und die Schnittstellen berechnen. Die y-Koordinaten der Schnittpunkte sind nicht so wichtig.

Wenn du das hast, könntest du die Integrale berechnen. Nutze eine Symmetrie aus.

Gleichungen der Kurven
x^2 + y^2 = 34 → y^2 = 34 - x^2
x^2 - y^2 = 16 → y^2 = x^2 - 16

Nullstellen
y^2 = 34 - x^2 = 0 → x = ± √34
y^2 = x^2 - 16 = 0 → x = ± 4

Schnittstellen
34 - x^2 = x^2 - 16 → x = ± 5

Rotationsvolumen
∫ (4 bis 5) (pi·(x^2 - 16)) dx = 13/3·pi
∫ (5 bis √34) (pi·(34 - x^2)) dx = pi·(68/3·√34 - 385/3)

Gesamtvolumen
V = 2·13/3·pi + 2·pi·(68/3·√34 - 385/3) = pi·(136·√34/3 - 248) = 51.32 VE

Comments

Vielen Dank für die Antwort ,darf ich fragen,warum nur positive +5/+4/+(34)^(1/2)

keine -4.. im Intervall ?

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Nutze eine Symmetrie aus.

Man erhält 2 Volumen die die gleiche Größe haben. Die Idee ist wenn du ein Volumen berechnest und dieses mal 2 nimmst hast du beide Volumen.

Answer 2

Lasse das graue Flächenstück um die x-Achse rotieren:

Comments

(5|3) statt (5|√41)  wäre wohl richtig

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@Wolfgang. Du hast natürlich recht. Danke für die Korrektur.