Ohne mich näher mit der eigentlichen Problematik befasst zu haben und unter der Annahme, dass log den natürlichen Logarithmus bezeichnet, hier die gewünschten partiellen Ableitungen:
L=βt(log(ct)−log(Bnt))−λ(yt−ptet+(1−μ)kt−kt+1−ct)
=βtlog(ct)−βtlog(Bnt)−λyt+λptet−λ(1−μ)kt+λkt+1+λct
⇒
∂ct∂L=βtct1−0−0+0−0+0+λ=ctβt+λ
∂nt∂L=0−βtnt1−0+0−0+0+0=−ntβt
∂kt+1∂L=0−0−0+0−0+λ+0=λ
∂et∂L=0−0−0+λpt−0+0+0=λpt
∂λ∂L=0−0−yt+ptet−(1−μ)kt+kt+1+ct
=−yt+ptet−(1−μ)kt+kt+1+ct