Ohne mich näher mit der eigentlichen Problematik befasst zu haben und unter der Annahme, dass log den natürlichen Logarithmus bezeichnet, hier die gewünschten partiellen Ableitungen:
$$L={ \beta }^{ t }(log({ c }_{ t })-log(B{ n }_{ t }))-λ({ y }_{ t }-{ p }_{ t }{ e }_{ t }+(1-μ){ k }_{ t }-{ k }_{ t+1 }-{ c }_{ t })$$
$$={ \beta }^{ t }log({ c }_{ t })-{ \beta }^{ t }log(B{ n }_{ t })-λ{ y }_{ t }+λ{ p }_{ t }{ e }_{ t }-λ(1-μ){ k }_{ t }+λ{ k }_{ t+1 }+λ{ c }_{ t }$$
$$\Rightarrow$$
$$\frac { \partial L }{ { \partial c }_{ t } } ={ \beta }^{ t }\frac { 1 }{ { c }_{ t } } -0-0+0-0+0+λ=\frac { { \beta }^{ t } }{ { c }_{ t } } +λ$$
$$\frac { \partial L }{ { \partial n }_{ t } } ={ 0-\beta }^{ t }\frac { 1 }{ { n }_{ t } } -0+0-0+0+0=-\frac { { \beta }^{ t } }{ { n }_{ t } }$$
$$\frac { \partial L }{ \partial { k }_{ t+1 } } =0-0-0+0-0+λ+0=λ$$
$$\frac { \partial L }{ \partial e_{ t } } =0-0-0+λ{ { p }_{ t } }-0+0+0=λ{ { p }_{ t } }$$
$$\frac { \partial L }{ \partial \lambda } =0-0-{ y }_{ t }+{ p }_{ t }{ e }_{ t }-(1-μ){ k }_{ t }+{ k }_{ t+1 }+{ c }_{ t }$$
$$=-{ y }_{ t }+{ p }_{ t }{ e }_{ t }-(1-μ){ k }_{ t }+{ k }_{ t+1 }+{ c }_{ t }$$
