Sei \( K=\mathbb{Z} / 7 \mathbb{Z} \), und betrachten Sie die auf \( V=K^{5} \) durch die Matrix
\( B=\left(\begin{array}{lllll} 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 & 0 \\ 5 & 3 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & 0 \end{array}\right) \in \operatorname{Mat}_{5}(K) \)
vermittelte symmetrische Bilinearform \( \beta \in \operatorname{Bil}(V, V) \).
(1) Bestimmen Sie das Radikal \( \operatorname{Rad}(V, \beta) \), indem Sie eine Basis berechnen. Ermitteln Sie weiter ein orthogonales Komplement \( (\tilde{V}, \tilde{\beta}) \) zu \( \operatorname{Rad}(V, \beta) \) in \( (V, \beta) \), indem Sie für \( \tilde{V} \) eine Basis \( \mathcal{B} \) angeben, die aus geeignet gewählten Standardbasisvektoren besteht, und die Strukturmatrix \( \tilde{B}=[\tilde{\beta}]_{\mathcal{B}, \mathcal{B}} \) von \( \tilde{\beta} \) bezüglich \( \mathcal{B} \) notieren.
(2) Bestimmen Sie in dem regulären metrischen Vektorraum \( (\tilde{V}, \tilde{\beta}) \) einen maximalen totalisotropen Untervektorraum \( U=\left\langle u_{1}, \ldots, u_{m}\right\rangle \)
(3) Ergänzen Sie \( u_{1}, \ldots, u_{m} \) gemäß Satz \( 25.12 \) im Skript zu einer hyperbolischen Basis \( u_{1}, v_{1}, \ldots, u_{m}, v_{m} \) für einen maximalen hyperbolischen Unterraum \( H_{1} \oplus \ldots \oplus H_{m} \).
(4) Beschreiben Sie den anisotropen Kern \( (W, \gamma) \) von \( (\tilde{V}, \tilde{\beta}) \).
