Question

Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum mit V ungleich {0} und sei f ∈ End(V ). Zeigen Sie, dass äquivalent sind

(i) f ist kein Isomorphismus.

(ii) Es gibt eine Basis A von V , so dass alle Koeffizienten der letzten Zeile von Mf,A,A gleich Null sind.

Wer kann mir helfen diese äquivalenz zu zeigen? Danke.

Answer 1

du kannst eine Basis des Kerns der Abbildung f, der ja ein Untervektorraum ist, zu einer Basis von V ergänzen. Die Abbildungsmatrix von f hat dann Zeilen, die nur aus lauter Nullen bestehen.

MfG

Mister

Comments

Dankeund wie begründet man, dass es noch äquivalent dazu ist dass auch in der letzten spalte nur nullen sind? also von ii) zu ii) nur mit spalten

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Wie kann man denn einen Vektorraum zu einer Basis ergänzen?

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Gute Frage. Jeweils.

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Die Basis des Kerns gibt es auch nicht.

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Doch, die Basis des Kerns gibt es.

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Man kann die basis des kernszu einer basis von V ergänzen, da der kern der abbildung ein UVRm von V ist

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Moment, bist du etwa Gast hj21 in neuem Gewand? (@Gast hj19)

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In der Regel existieren verschiedene Basen und nicht nur eine.

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Nein ich bin der der die frage gestellt hat

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So ists besser.

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@Gast ie63: Ich meinte Gast hj19.

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@Gast hj19: Bitte, bitte gewöhne dir einen effizienten Stil an.

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sein Stil ist so effizient, dass du schon nach drei Kommentaren seinen Ansprüchen genügst.

Mein Stil schafft das üblicherweise nicht.

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Immerhin hast du dich gleich zweimal korrigieren müssen. Ist das nicht effizient?

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Über Effizienz entscheidet für mich, wieviel Energie du bereit bist dafür aufzubringen, deinem Anstoß am Status "Experte III" Ausdruck zu verleihen.

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Ach, so ist das!

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