Pyramiden: Beim Bau der Snofru Pyramide wurde der Neigungswinkel der Seitenflächen aus Sicherheitsgründen...

Question

Pyramiden Prüfung (mündlich):

Beim Bau der Snofru Pyramide wurde bei einer Höhe von 50m der Neigungswinkel der Seitenflächen aus Sicherheitsgründen von 54,5 Grad auf 43,5 Grad verringert. Die Knickpyramide ist 101m hoch!

(sieht nach einem Trapez und einer Pyramide aus)

Aufgaben:

1. Berechne die Größe der Mantelfläche.

2. Welche Höhe hatte die Pyramide nach der ursprünglichen Planung erreicht?

3. Berechnet den Neigungswinkel der Seitenkanten im unteren und oberen Bereich.

4. Berechnet das Volumen der Pyramide

ein Tipp, Anfangspunkt, Rechnung etc. würde helfen.

 .

Comments

Tipp:

Bis zur Höhe von 50 m liegt ein Pyramidenstumpf vor. Zwischen 50 m und 101 m habe ich eine Pyramide .-)

Im Grunde ein Körper, wo auf einem Pyramidenstumpf eine Pyramide aufgesetzt ist.

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Danke, habe ich mir aufgeschrieben. Das Problem ist ich weiß nicht genau wie ich weiter komme und mit was ich als erstes und dann als nächstes rechnen muss. Ich habe es mit tan^-1 (54,5) = 88,95, tan 54,5 x 50 und tan^-1 54,5 x 50. Ich bin mir nicht sicher welches richtig ist und ob ich überhaupt richtig liege.

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Zur Mantelfläche:

Eine Angabe fehlt in der Aufgabenstellung, nämlich das Basismaß. Laut Recherche ist die Pyramide quadratisch und hat ein Basismaß von ca. 189 m.

So, der untere Teil der Pyramide ist ein Pyramidenstumpf und hat als Mantel vier gleichgroße Trapezflächen. Die Grundseite (a) ist mit 189 m gegeben und auch die Seitenhöhe bekommt man über 50m/sin(54,5°) heraus. Die Frage ist nun, wie groß die Kopfseite des Trapezes ist, also die "Verbindungsnaht" zwischen Stumpf und aufgesetzter Pyramide. Diese Grundseite (c) der aufgesetzten Pyramide kann man allerdings berechnen, indem man  Winkelbeziehungen, z. b. tan(43,5°) = h/(c/2) nutzt. Nun kann man die Mantelfläche des Stumpfes berechnen (= 4*[0,5*50m/sin(54,5°)*(189 + 2*51m/tan(43,5°)]).

Mantelfläche der aufgesetzten Pyramide = 4*Fläche des Dreiecks mit Grundseite (2*51m/tan(43,5°)) und Höhe gleich 51 m.

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Vielen Dank erstmal für die Mühe! :)

1. Schritt: Seitenhöhe bzw. "hs"?

50m/sin(54,5) = 61,42


2. Schritt: Verbindungsnaht zwischen Pyramiden Stumpf und der aufgesetzten Pyramide

tan(43,5) = 0,948.. (kommt mir nicht sehr realistisch vor)

tan^-1(43,5) = 88,68 (richtig/falsch?)

und tan(43,5) = h/(c/2) versteh ich leider nicht. "c" ist ja nicht gegeben.


3.Schritt: Mantelfläche des Stumpfes
4.Schritt: Mantelfläche der aufgesetzten Pyramide


Schritt 3 und 4 versteh ich auch leider nicht so ganz.

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h_s1 mit 61,4 m stimmt.

Kopfseite des Trapezes bzw. 1 Nahtstelle zischen Stumpf und aufgesetzter Pyramide -> c = 2*51m/tan(43,5°) = 107,5 m (wenn ich mich nicht irre)

Fläche eines Trapezes = 0,5*h_s1*(a + c) = 0,5*61,4 m(189 m + 107,5 m) = ...

Mantelfläche Stumpf = 4* Fläche des Trapezes

Aufgesetzte Pyramide: Fläche eines Dreiecks = 0,5*h_s2*c

c = 107,5 m, h_s2 = 51 m/sin(43,5°) = 74,1 m -> Fläche eines Dreiecks = 0,5*107,5 m * 74,1 m = ...

Mantelfläche aufgesetzte Pyramide = 4* Fläche des Dreiecks

-> Gesamtmantelfläche = Mantelfläche Stumpf + Mantelfläche aufgesetzte Pyramide

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Vielen vielen dank. Habe es verstanden und ordentlich aufgeschrieben. :)

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Grundseite= 107,48m

hs1: 61,42m

hs2: 51m

cos "alpha" 54,5 * 61,42 = 35,67m

tan 43,5 = 51 / tan43,5 = 53,74m

sin 43,5 = 51 / sin43,5 = 74,09m

sin54,5 * 61,42 =50m

A= (107,48 + 178,82 / 2 * 50) * 4 = 18229,92 ((a+c*h/2)*4)

Fläche Trapez: 0,5 * 61,42 * (178,82 + 107, 48) = 8792, 27 <- * 4 = 35169,09m (0,5*hs1*(a+c)

Fläche Pyramide: 0,5 * 107,48 * 74,09 = 3981,60 <- *4 = 15926,39m ((G*h/2)*4)


Das ist alles was ich habe und weiß.

Answer 1

1. Welche Höhe hätte die Pyramide nach der ursprünglichen Planung erreicht?

 

TAN(43.5°) = 51/a
a = 51 / TAN(43.5°) = 53.74

 

TAN(54.5°) = 50/b

b = 50 / TAN(54.5°) = 35.66

 

c = a + b = 53.74 + 35.66 = 89.40

 

h / 89.40 = 50 / 35.66

h = 50 / 35.66 · 89.40 = 125.4 m

 

2. Berechne die Größe der Mantelfläche.

 

M1 = 4·53.74·√(53.74^2 + 51^2) = 15926 m^2

 

M2 = 4·89.4·√(89.4^2 + 125.4^2) - 4·53.74·√(53.74^2 + (125.4 - 50)^2) = 35169 m^2

 

M = M1 + M2 = 15926 + 35169 = 51095 m^2

 

3. Berechnet den Neigungswinkel der Seitenkanten im unteren und oberen Bereich.

 

α = ARCTAN(51/√(2·53.74^2)) = 33.86°

 

β = ARCTAN(125.4/√(2·89.4^2)) = 44.77°

 

4. Berechnet das Volumen der Pyramide.

 

V = 1/3·(4·a^2)·h

 

V1 = 1/3·(4·53.74^2)·51 = 196383 m^3

 

V2 = 1/3·(4·89.4^2)·125.4 - 1/3·(4·53.74^2)·(125.4 - 50) = 1045984 m^3

 

V = V1 + V2 = 196383 + 1045984 = 1242367 m^3

Answer 2

@mathecoach. war wieder 1 Minute schneller

Trotzdem meine Vorarbeiten

Hier ein Link zu einer Abbildung der Pyramide

https://de.wikipedia.org/wiki/Knickpyramide

Sowie meine Skizze

 

Bei Fragen bin ich gern behilflich.

mfg Georg