Lineare Algebra. Bilden a1 und a2 eine orthonormierte Basis?

Question

Gegeben sei ein kartesisches xy-Koordinatensystem des E². Zwei Vektoren a₁ und a₂ haben bzgl dieses Systems folgende Koordinatenvektoren:

a₁=

$$\begin{bmatrix} -\frac{1}{2}\sqrt { 2 }  \\ \frac{1}{2}\sqrt { 2 }  \end{bmatrix}$$

a₂=

$$\begin{bmatrix} \frac{1}{2}\sqrt { 3 }  \\ \frac{1}{2} \end{bmatrix}$$

1.Zeigen Sie, dass a₁ und a₂ in dem zugehörigen Ortsvektorraum eine Basis bilden.

2. Bilden a₁ und a₂ eine orthonormierte Basis? 

3. Wiel lauten für den Einheitsvektor der y-Achse die Koordinaten bzgl der Basis a := (a₁  a₂)^T?

Ich bitte um eine ausführliche Erklärung. 

Comments

Stehen die 2en vor den Wurzeln, weil das 2. Wurzeln sind?

Die Wurzeln sind unter dem Bruchstrich zusammen mit den 'Faktoren' 2?

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Die stehen im Zähler. Ich korrigiere es. (oder auch nicht. Machst du ja gerade :D )

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Thilo: Ich danke. Latexkorrekturen sind nicht so meins.

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Ok, mache ich. Sobald dort nicht mehr steht, dass der Beitrag gerade von dir bearbeitet wird und ich es später nochmal versuchen soll ^^

Answer 1

1. Der Ortsvektorraum ist 2-dimensional, also brauchen wir 2 Basisvektoren.

Sind a1 und a2 lin. unabhänhig?

Ja, denn x*\( \begin{pmatrix} -0,5√2\\0,5√2 \end{pmatrix} \) +y*\( \begin{pmatrix}0,5√3\\0,5 \end{pmatrix} \) =0 ⇒x=y=0

Also bilde a1 und a2 eine Basis.

2. Sind a1 und a2 orthonormal, d.h. Länge=1 und senkrecht?

Nein, denn \( \begin{pmatrix} -0,5√2\\0,5√2 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix}0,5√3\\0,5 \end{pmatrix} \) = -1/4 √6 +1/4 √2 ≠ 0

3. x*\( \begin{pmatrix} -0,5√2\\0,5√2 \end{pmatrix} \) +y*\( \begin{pmatrix}0,5√3\\0,5 \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix} \) ⇒ x= 3√2 - √6,   y=√3 - 1

\( \begin{pmatrix}0\\1 \end{pmatrix} \) hat bzgl der Basis a := (a₁  a₂)^T die Form \( \begin{pmatrix} 3√2 - √6\\√3 - 1\end{pmatrix} \). Die neuen Koord. kann man ablesen.