Vorgehensweise zum Determinante bestimmen

Question

Ich soll jeweils die Determinante bestimmen...

\( A:=\left(\begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \\ {4} & {5} & {6} \\ {7} & {8} & {9}\end{array}\right) \quad B:=\left(\begin{array}{cccc}{a} & {b} & {0} & {0} \\ {0} & {a} & {b} & {0} \\ {0} & {0} & {a} & {b} \\ {b} & {0} & {0} & {a}\end{array}\right) \quad C:=\left(\begin{array}{ccccc}{1} & {1} & {1} & {1} & {1} \\ {1} & {2} & {3} & {4} & {5} \\ {1} & {3} & {6} & {10} & {15} \\ {1} & {4} & {10} & {20} & {35} \\ {1} & {5} & {15} & {35} & {70}\end{array}\right) \)

Bei der 3x2 Determinante geht das ja noch:

\( \begin{array}{l}D=\left|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & c_{33}\end{array}\right| \\ D=a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33}+a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} \\ +a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32}-a_{13} \cdot a_{22}=a_{31} \\ -a_{11} \cdot a_{23}^{2} a_{32}-a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33}\end{array} \)

Aber wie sieht die Vorgehensweise bei den anderen aus? anscheinend gibt es ja da kein Schema? Oder kann mir bitte jemand verraten wie es funktioniert?

Answer 1

Hast du dir bereits den Artikel bei Wikipedia durchgelesen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Determinante

Du kannst z.B. über das Gausssche Eliminationsverfahren die Determinante berechnen.

DET([1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]) = 0

DET([a, b, 0, 0; 0, a, b, 0; 0, 0, a, b; b, 0, 0, a]) = a^4 - b^4

DET([1, 1, 1, 1, 1; 1, 2, 3, 4, 5; 1, 3, 6, 10, 15; 1, 4, 10, 20, 35; 1, 5, 15, 35, 70]) = 1

Schau mal ob du auch auf meine Determinanten kannst.

Comments

Ah okay, also gilt das hier immer und ich kann es auf jede beliebige determinate anwenden?

\( A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \)
die Determinante
\( \operatorname{det} A=\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|=a d-b c \)

---

Das geht nur bei 2x2 Determinanten, 3x3 kann man dann den Satz von Sarrus verwenden wo man dann so vorgeht:

\( D=\left|\begin{array}{lll}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{array}\right| \)

\( D=a e i+d h c+g b f-g e c-d b i-a h f \)

Das ist lediglich die Hauptdiagonale der Determinante plus die parallelen zur Hauptdiaonale minus die Nebendiagonale und ihre parallelen.

---

super danke! und wie mache ich das dann bei 4x4 und 5x5... gibt es da auch so ein schönes verfahren?

---

Jein. Wenn in einer Zeile viele Nullen sind, bietet sich der Laplace'sche Entwicklungssatz an, ansonsten ggf. wie bereits gesagt wurde mit Gauß. So eine einfache Regel, wie die Regel von Sarrus gibt es für nxn-Matrizen mit n>3 leider nicht.

Answer 2

ja, hier kommt man mit den Adjunkten gut weiter:

gegeben sei eine Determinante:

\( D=\left|\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right| \)

(zu Vereinfachung der Darstellung habe ich 3x3 genommen aber es geht auch genau so bei n-reihigen Determinanten)

Hier kannst du den Entwicklungssatz verwenden:

\( D=\left|\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right|=a_{1} A_{2}+a_{2} A_{2}+a_{3} A_{3} \)

wobei A_1 so bestimmt wird:

1. Du streichst bei der Determinante D zuerst die erste reihe und erste spalte wodurch du

\( D_{a_{1}}=\left|\begin{array}{ll}b_{2} & c_{2} \\ b_{3} & c_{3}\end{array}\right| \)

erhältst. Das gleiche machst du mit der kompletten ersten spalte, d.h. das du D_a2 und D_a3 noch bilden musst:  

\( D_{a_{2}}=\left|\begin{array}{ll}b_{1} & c_{1} \\ b_{3} & c_{3}\end{array}\right| \)

\( D_{a_{3}}=\left|\begin{array}{ll}b_{1} & c_{1} \\ b_{2} & c_{2}\end{array}\right| \)

und die zugehörigen Adjunkten kannst du so berechnen

\( A_{a 1}=(-1)^{i+k} D_{a 1} \)

(A steht für Adjunkte und der Index a1 für die Determinante, dessen Adjunkte es ist)

wobei i die zahl der spalte ist und k die zahl der Zeile ist, daraus folgt

\( A_{a 1}=(-1)^{1+1} D_{a 1}=(-1)^{2} D_{a 1}=D_{a 1} \)

das kannst du nun bei allen anderen D_a der ersten spalte machen und nun in die Formel die ganz oben genannt wurde einsetzen:

\( D=\left|\begin{array}{lll}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{array}\right|=a_{1} A_{2}+a_{2} A_{2}+a_{3} A_{3} \)

Wenn es noch fragen gibt einfach fragen ;)