Reihe absolut konvergent Quotientenkriterium. ∑∞k=0 √(k^2+1)/(-4)^k

Question

Zeigen sie mithilfe des Quotientenkriteriums, dass die Reihe

∑∞_k=0 √(k²+1)/(-4)^k

absolut konvergent ist.

---

aus Duplikat:

Ich bin nun soweit:
lim Wurzel((k+1)^2+1)/((-4)^k+1) mal (-4)^k/Wurzel((k^2)+1) = lim Wurzel(k^2+2k+2)/(-4)*wurzel((k^2)+1)
wie mache ich nun weiter?

Comments

Wobei hast du den hier genau Schwierigkeiten? Weißt du was das Quotientenkriterium ist und wie es angewendet wird?

Wenn nicht solltest du dich vielleicht mal einlesen: https://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenkriterium

---

Ich weiss nicht wie es angewendet wird

---

Ist das Quotientenkriterium zuwingend zu verwenden?

Einfacher wäre zu zeigen, dass da über eine alternierende Nullfolge summiert wird.

Stichwort: Alternierende Reihe.

---

Ja sollte man verwenden

---

Klar. 'Alternierende Reihe' könnte man ja bei der absoluten Konvergenz gar nicht verwenden.

Man muss die Beträge ansehen. Also

∑ √((k²)+1)/(4)^k  

Bitte aber bei der ursprünglichen Frage weiterfragen. Das hier wird entfernt.

Answer 1

a(n+1) / an = √((k + 1)^2 + 1)/(-4)^{k + 1} / (√(k^2 + 1)/(-4)^k) = - √(k^2 + 2·k + 2) / (4·√(k^2 + 1))

Das dürfte als Grenzwert -1/4 haben. Daher wäre die Reihe konvergent.

Schauen wir mal ob Wolframalpha uns auch den Wert der Summe verraten kann:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum_k%3D0%5Einfinity+%E2%88%9A%28k%5E2+%2B+1%29%2F%28-4%29%5Ek

Ok. Sieht also alles gut aus.

Comments

Tut mir leid,

 

ich kann damit immer noch nichts anfangen.

Bekomme keinen Ansatz hin.

 

LG

---

Mathecoach: Bei absoluter Konvergenz muss das Minus im Nenner noch weg.