Grenzwert der Reihe mit Hilfe des Quotientenkriterium lösen

Question

Aufgabe:

Grenzwert einer Reihe bestimmen

\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{3 k+2}{5^{k}} \)

Problem/Ansatz:

Ich muss den Grenzwert dieser Reihe bestimmen. Ich hab versucht dies mit den Quotientenkriterium zu lösen. Allerdings habe ich dann immer am Ende 1/5  * (3k+5/3k+2). Hier müsse ich ja dann K ausklammern allerdings würde das nicht aufgehen da ich dann 5/k habe und das würde ja gegen 0 gehen. Dann hätte ich da nur noch stehen 1/5 *3/3 was falsch ist da die Lösung 1/2 lautet. Kann mir jemand sagen wo ich vielleicht falsch gerechnet habe.

Viele Grüße

Comments

Sollst du nur prüfen, ob die Reihe konvergiert,
oder tatsächlich ihren Wert berechnen?

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Den tatsächlich Wert berechnen! Die Lösung sagt btw. 1/2, falls es dir vielleicht hilft

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Da stimmt etwas ganz und gar nicht!

Klar ist \(\sum \frac{3k+2}{5^k}\geq \sum (\frac{1}{5})^k=5/4\)

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Text erkannt:

\( =\frac{3(k+1)+2}{5^{k+1}} \cdot \frac{5^{k}}{3 k+2}=\frac{1}{5} \cdot \frac{3 k+2+3}{3 k+2} \)
\( =\frac{1}{5} \cdot\left(1+\frac{3}{3 k+2}\right) \)
\( \leq \frac{1}{5} \cdot\left(1+\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{2}=\frac{1}{2} \)

Das hat gerade jemand auf Studydrive gepostet, ich verstehe diese Rechnung aber nicht so ganz. Vielleicht bringt sie dir ja etwas.

LG

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Es geht mir nicht um das Erfülltsein des Quotientenkriteriums.

Das hat ja Gast2016 vollkommen korrekt abgehandelt.

Dein Gepostetes bezieht sich ja nicht auf den Wert der Reihe,

sondern auf den Quotienten \(|a_{k+1}/a_k|\). Und natürlich ist 1/2

auch eine obere Schranke < 1 dieses Quotienten.

Mir ist nicht klar, wie ihr mit den euch bisher zur Verfügung

stehenden Mitteln die Reihensumme berechnen sollt ...

Aber ganz sicher ist sie nicht 1/2, wie ich bereits gezeigt habe.

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Ich muss den Prof dann nochmal in einzelnen vielleicht fragen, trotzdem danke an alle für die Zahlreichen Antworten!

Answer 1

Aloha :)

Wir wenden auf die Summanden \(a_k=\frac{3k+2}{5^k}\) das Quotientenkriterium an:$$\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{\frac{3(k+1)+2}{5^{k+1}}}{\frac{3k+2}{5^k}}=\frac{3(k+1)+2}{3k+2}\cdot\frac{5^k}{5^{k+1}}=\frac{3k+5}{3k+2}\cdot\frac15=\left(1+\frac{3}{3k+2}\right)\cdot\frac15\to\frac15$$

Der Quotient konvergiert also nicht, wie in der Lösung steht, gegen \(\frac12\), sondern gegen \(\frac15\). Im Prinzip ist das aber auch egal, denn es zählt für die Konvergenz der Reihe nur, dass der Grenzwert \(<1\) ist.

Answer 2

Falls du den Grenzwert der Reihe berechnen willst: Bekanntlich gilt für \(\lvert x\rvert<1\) die geometrische Reihe$$\sum_{k=0}^\infty x^k=\frac1{1-x}.$$Ableiten liefert$$\sum_{k=1}^\infty k\cdot x^{k-1}=\frac1{(1-x)^2}.$$Multiplikation mit \(x\) liefert$$\sum_{k=1}^\infty k\cdot x^k=\frac x{(1-x)^2}.$$Mit \(x=\tfrac15\) folgt$$\sum_{k=0}^\infty\frac{3k+2}{5^k}=3\cdot\sum_{k=1}^\infty\frac k{5^k}+2\cdot\sum_{k=0}^\infty\frac1{5^k}=3\cdot\frac{\frac15}{(1-\frac15)^2}+2\cdot\frac1{1-\frac15}=\frac{55}{16}.$$

Comments

Sehr schön. So hätte ich es auch gemacht. Setzt aber die

Theorie der Potenzreihen voraus, weswegen ich nicht glaube, dass

tatsächlich der Reihenwert berechnet werden sollte.

Answer 3

((3*(k+1)+2)*5^k))/((5^k*5)*(3k+2)) = (3k+5)/(15k+10) = 1/5 für k->oo

Comments

Hallo vielen dank für deine Antwort!

Ich befürchte allerdings, dass deine Lösung auch falsch ist :(. In den Lösungen die wir bekommen haben ist die richtige Antwort 1/2 und nicht wie bei dir 1/5 (Das hatte ich auch zuvor rausbekommen). Leider geben die Lösungen aber keinen rechenweg her.

Viele grüße

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1/2 kann nicht stimmen:

https://www.wolframalpha.com/input?i=sum+%283k%2B2%29%2F5%5Ek+from+0+to+infinit

Die Glieder streben gegen 0:

https://www.wolframalpha.com/input?i=lim+%283k%2B2%29%2F5%5Ek+

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Text erkannt:

\( =\frac{3(k+1)+2}{5^{k+1}} \cdot \frac{5^{k}}{3 k+2}=\frac{1}{5} \cdot \frac{3 k+2+3}{3 k+2} \)
\( =\frac{1}{5} \cdot\left(1+\frac{3}{3 k+2}\right) \)
\( \leq \frac{1}{5} \cdot\left(1+\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{2}=\frac{1}{2} \)

Ich habe diesen Lösungsweg gerade auf Studydrive gefunden, aber um ehrlich zu sein verstehe ich ihn nicht so ganz. Vielleicht hilft er dir?

LG