Grenzwert der Reihe mit Hilfe des Quotientenkriterium lösen

Question

Aufgabe:

Grenzwert einer Reihe bestimmen

$\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{3 k+2}{5^{k}}$

Problem/Ansatz:

Ich muss den Grenzwert dieser Reihe bestimmen. Ich hab versucht dies mit den Quotientenkriterium zu lösen. Allerdings habe ich dann immer am Ende 1/5  * (3k+5/3k+2). Hier müsse ich ja dann K ausklammern allerdings würde das nicht aufgehen da ich dann 5/k habe und das würde ja gegen 0 gehen. Dann hätte ich da nur noch stehen 1/5 *3/3 was falsch ist da die Lösung 1/2 lautet. Kann mir jemand sagen wo ich vielleicht falsch gerechnet habe.

Viele Grüße

Comments

Sollst du nur prüfen, ob die Reihe konvergiert,
oder tatsächlich ihren Wert berechnen?

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Den tatsächlich Wert berechnen! Die Lösung sagt btw. 1/2, falls es dir vielleicht hilft

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Da stimmt etwas ganz und gar nicht!

Klar ist $\sum \frac{3k+2}{5^k}\geq \sum (\frac{1}{5})^k=5/4$

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Text erkannt:

$=\frac{3(k+1)+2}{5^{k+1}} \cdot \frac{5^{k}}{3 k+2}=\frac{1}{5} \cdot \frac{3 k+2+3}{3 k+2}$
$=\frac{1}{5} \cdot\left(1+\frac{3}{3 k+2}\right)$
$\leq \frac{1}{5} \cdot\left(1+\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{2}=\frac{1}{2}$

Das hat gerade jemand auf Studydrive gepostet, ich verstehe diese Rechnung aber nicht so ganz. Vielleicht bringt sie dir ja etwas.

LG

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Es geht mir nicht um das Erfülltsein des Quotientenkriteriums.

Das hat ja Gast2016 vollkommen korrekt abgehandelt.

Dein Gepostetes bezieht sich ja nicht auf den Wert der Reihe,

sondern auf den Quotienten $|a_{k+1}/a_k|$. Und natürlich ist 1/2

auch eine obere Schranke < 1 dieses Quotienten.

Mir ist nicht klar, wie ihr mit den euch bisher zur Verfügung

stehenden Mitteln die Reihensumme berechnen sollt ...

Aber ganz sicher ist sie nicht 1/2, wie ich bereits gezeigt habe.

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Ich muss den Prof dann nochmal in einzelnen vielleicht fragen, trotzdem danke an alle für die Zahlreichen Antworten!

Answer 1

Aloha :)

Wir wenden auf die Summanden $a_k=\frac{3k+2}{5^k}$ das Quotientenkriterium an:$$\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{\frac{3(k+1)+2}{5^{k+1}}}{\frac{3k+2}{5^k}}=\frac{3(k+1)+2}{3k+2}\cdot\frac{5^k}{5^{k+1}}=\frac{3k+5}{3k+2}\cdot\frac15=\left(1+\frac{3}{3k+2}\right)\cdot\frac15\to\frac15$$

Der Quotient konvergiert also nicht, wie in der Lösung steht, gegen $\frac12$, sondern gegen $\frac15$. Im Prinzip ist das aber auch egal, denn es zählt für die Konvergenz der Reihe nur, dass der Grenzwert $<1$ ist.

Answer 2

Falls du den Grenzwert der Reihe berechnen willst: Bekanntlich gilt für $\lvert x\rvert<1$ die geometrische Reihe$$\sum_{k=0}^\infty x^k=\frac1{1-x}.$$Ableiten liefert$$\sum_{k=1}^\infty k\cdot x^{k-1}=\frac1{(1-x)^2}.$$Multiplikation mit $x$ liefert$$\sum_{k=1}^\infty k\cdot x^k=\frac x{(1-x)^2}.$$Mit $x=\tfrac15$ folgt$$\sum_{k=0}^\infty\frac{3k+2}{5^k}=3\cdot\sum_{k=1}^\infty\frac k{5^k}+2\cdot\sum_{k=0}^\infty\frac1{5^k}=3\cdot\frac{\frac15}{(1-\frac15)^2}+2\cdot\frac1{1-\frac15}=\frac{55}{16}.$$

Comments

Sehr schön. So hätte ich es auch gemacht. Setzt aber die

Theorie der Potenzreihen voraus, weswegen ich nicht glaube, dass

tatsächlich der Reihenwert berechnet werden sollte.

Answer 3

((3*(k+1)+2)*5^k))/((5^k*5)*(3k+2)) = (3k+5)/(15k+10) = 1/5 für k->oo

Comments

Hallo vielen dank für deine Antwort!

Ich befürchte allerdings, dass deine Lösung auch falsch ist :(. In den Lösungen die wir bekommen haben ist die richtige Antwort 1/2 und nicht wie bei dir 1/5 (Das hatte ich auch zuvor rausbekommen). Leider geben die Lösungen aber keinen rechenweg her.

Viele grüße

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1/2 kann nicht stimmen:

https://www.wolframalpha.com/input?i=sum+%283k%2B2%29%2F5%5Ek+from+0…

Die Glieder streben gegen 0:

https://www.wolframalpha.com/input?i=lim+%283k%2B2%29%2F5%5Ek+

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Text erkannt:

$=\frac{3(k+1)+2}{5^{k+1}} \cdot \frac{5^{k}}{3 k+2}=\frac{1}{5} \cdot \frac{3 k+2+3}{3 k+2}$
$=\frac{1}{5} \cdot\left(1+\frac{3}{3 k+2}\right)$
$\leq \frac{1}{5} \cdot\left(1+\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{2}=\frac{1}{2}$

Ich habe diesen Lösungsweg gerade auf Studydrive gefunden, aber um ehrlich zu sein verstehe ich ihn nicht so ganz. Vielleicht hilft er dir?

LG