Scheitelpunkt und die Nullstellen der Funktion f bestimmen: f(x) = 2x^2+4x-1 und g(x) = 0,5* x+6,5

Question

Gegeben ist die Funktion f und g mit f(x) = 2x²+4x-1 und g(x) = 0,5* x+6,5

ich soll den Scheitelpunkt und die Nullstellen der Funktion f bestimmen.

b)  durch welche geometrische Operationen können sie den Grphen der Funktion f aus der Normalparabel erhalten?

c) Stellen sie  f graphisch dar.

d) Stellen sie im gleichen Koordinatensystem von Teilaufgabe c) den graphen von g dar.

e) Lösen sie das Gleichungssystem

y= 2x² + 4x -1

y= 0,5x+6,5  graphisch. begründen sie ihren Lösungsweg.

f) Lösen sie das Gleichungssystem aus teilaufgabe e) rechnerisch

 

Bitte um Hilfe, ich weiß nicht wie es geht

Lieben Gruß

Comments

Hallo Peggy,

muß es nicht anstelle
f ( x ) = 2 + x²+ 4 * x -1

f ( x ) = 2 * x²+ 4 * x -1

heißen ?

mfg Georg

Nachtrag
Hat wohl jemand schon korrigiert.

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Mensch, was seid ihr pfiffige Kerlchen, ja Georg,-danke für s Aufmerksame zutun

Answer 1

Hallo Petra,

 

nun nochmal mit der korrigierten Funktionsgleichung :-)

 

f(x) = 2x²+ 4x - 1

g(x) = 0,5* x + 6,5

 

a) Scheitelpunkt, Nullstellen von f(x)

Um die Scheitelpunktform zu finden, müssen wir x² zu stehen haben, schreiben also

f(x) = 2 * (x² + 2x - 1/2)

x² + 2x ist dann der Anfang der 1. binomischen Formel, so dass wir schreiben können

f(x) = 2 * (x² + 2x + 1 - 1 - 1/2)

= 2 * [(x + 1)² - 1,5]

Multiplizieren wir das zur Probe nochmal aus:

2 * (x² + 2x + 1 - 1,5) = 2x² + 4x - 1 | stimmt :-)

Der Scheitelpunkt lautet daher:

S (-1|-3)

 

 

Nullstellen:

Da würde ich die p-q-Formel verwenden:

x_1,2 = -p/2 ± √(p²/4 - q)

Ein Produkt ist dann = 0, wenn mindestens einer der Faktoren = 0 ist.

Wenn wir also die Funktion schreiben als

f(x) = 2 * (x² + 2x - 1/2)

ist p = 2 und q = -1/2

x_1,2 = - 1 ± √(1² + 1/2) = -1 ± √(3/2) 

x₁ = -1 + √(3/2) ≈ 0,2247

x₂ = -1 - √(3/2) ≈ -2,2247

 

b)  durch welche geometrische Operationen können Sie den Graphen der Funktion f aus der Normalparabel erhalten?

Wir hatten oben geschrieben

f(x) = 2 * [(x + 1)² - 1,5]

Also: Verschiebung der Normalparabel um 1 nach links (wegen der roten +1) und um 3 nach unten (wegen 2 * (-1,5));

weiterhin Streckung mit dem Faktor 2; der Graph von f(x) ist steiler als die Normalparabel.

 

c) wurde oben schon erledigt

 

d) ist dann auch ganz leicht:

e) Graphisches Lösen des Gleichungssystems

Hier sind wohl die Schnittpunkte der beiden Graphen gesucht. Die kann man im obigen Bild ungefähr ablesen.

An den beiden Schnittpunkten haben die Graphen von f(x) und g(x) den gleichen x-Wert und auch den gleichen y-Wert.

Besser kann ich das auch nicht erklären :-)

 

f) Lösen Sie das Gleichungssystem aus teilaufgabe e) rechnerisch

Wir setzen, um die Schnittpunkte zu finden (wo ja beide Funktionen den gleichen x- und y-Wert haben), die beiden Funktionsgleichungen einfach gleich:

f(x) = 2x² + 4x - 1 = g(x) = 0,5* x + 6,5

also

2x² + 4x - 1 = 0,5x + 6,5

 

Rest folgt in einem Kommentar :-)

 

Liebe Grüße

Andreas

Comments

Die Schreibweise vom Mathecoach für die Scheitelpunktform von f

f(x) = 2·(x + 1)² - 3

ist natürlich wesentlich besser als meine

f(x) = 2 * [(x + 1)² - 1,5]

 

!!!

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Und wenn man die Mitternachtsformel nicht kennt, geht auch hier wieder die p-q-Formel:

2x² + 4x - 1 = 0,5x + 6,5 | - 0,5x

2x² + 3,5x - 1 = 6,5 | -6,5

2x² + 3,5x - 7,5 = 0 | :2

x² + 1,75x - 3,75 = 0

x_1,2 = -0,875 ± √(0,765625 + 3,75) = -0,875 ± 2,125

x₁ = 1,25

x₂ = -3

g(1,25) = 7,125

g(-3) = 5

Die Schnittpunkte lauten also

S₁ = (1,25|7,125)

S₂ = (-3|5)

Answer 2

f(x) = 2·x^2 + 4·x - 1
f(x) = 2·(x^2 + 2·x) - 1
f(x) = 2·(x^2 + 2·x + 1 - 1) - 1
f(x) = 2·(x^2 + 2·x + 1) - 3
f(x) = 2·(x + 1)^2 - 3

Scheitelpunkt der Parabel ist also S(-1, -3)

Wir erhalten den Graphen der Funktion aus Streckung der Normalparabel mit dem Faktor 2, Verschiebung nach links um eine Einheit und Verschiebung nach unten um 3 Einheiten.

 

Schnittpunkte f(x) = g(x)

2·x^2 + 4·x - 1 = 0.5·x + 6.5
2·x^2 + 3.5·x - 7.5 = 0   | Lösen mit Mitternachtsformel
x = 1.25 ∨ x = -3

g(1.25) = 7.125
g(-3) = 5