Exponentialfunktion Hausaufgabenabgleich

Question

Hi Leute :) 

 

Und zwar hatte ich Hausaufgaben (freiwillig) abgegeben, damit ich mir eine gute Note abgattern kann. Diese bekam ich wieder mit 2 Fehlern. Und wenn ich diese korrigiere, dann kriege ich halt eine gute Note.

 

Ich weiß aber ehrlich gesagt nicht, wo mein Fehler ist. Es geht um die Funktion f(x) = ln(x) - ln(6-x)

 

So und gefragt war "Zeigen Sie, dass f keine Extremalstellen besitzt"

 

So habe ich das gerechnet:

 

f'(x) = 0 
0 = (6-x)/x(6-x) + x/x(6-x) 
0 = 6-x + x 
0 <> 6   <---- Darum gehts. Mein Lehrer meinte, dass die Schreibweise falsch sei. Aber warum? Wie kann ich das denn sonst schreiben? Weil ich muss doch durch das <> kennzeichnen, dass es ein Widerspruch ist und deswegen keine Extrema vorhanden sind.

 

So das zweite wäre: "Stellen Sie die Gleichung der Wendetangente t auf"

 

So hatte ich das gerechnet:

 

W(3|0) 
f'(3) = 1/3 + 1/(6-3) = 2/3 
0 = 2/3 * 3 + b -> b = -2 

y = 2/3 x - 2 

 

Er fragte "Woher die Variable"? Ich weiß aber ehrlich gesagt nicht mehr, woher ich die nahm ^^ Wüsste das zufällig jemand? :D Weil dies zu lange her ist ^^  

Comments

Hi, Du könntest schreiben:

f'(x) = ... = 6 ≠ 0, also hat f keine Extremstellen.

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Ah cool danke :) Erste frage wäre also gelöst :D

Answer 1

f ( x ) = ln ( x )  - ln ( 6-x )
Def Bereich x > 0
Ableitung des  ln ( ) allgemein
[ ln ( term ) ] ´ = 1 / term  *  term ´
f ´( x ) = 1/ x * ( x )´  - 1 / ( 6 - x ) * ( 6 - x ) ´
f ´ ( x ) = 1 / x * 1 - 1 / ( 6 - x ) * ( - 1 )
f ´( x ) = 1 / x + 1 / ( 6 - x)
Punkte mit waagerechter Tangente
1 / x + 1 / ( 6 - x) = 0
1 / x = - 1 / ( 6 - x )
6 - x = -x
Es gibt kein x  als Lösung

So das zweite wäre: "Stellen Sie die Gleichung der
Wendetangente t auf"
f ´( x ) = 1 / x + 1 / ( 6 - x)
f ´´( x ) = - 1/ x^2 - ( -1 ) / ( 6 - x)^2
f ´´( x ) = - 1/ x^2 + 1  / ( 6 - x)^2
Wendepunkt
- 1/ x^2 + 1 / ( 6 - x)^2 = 0
1 / ( 6 - x)^2 = 1 / x^2
x^2 = (  6 - x )^2
x = 6 - x
2 * x = 6
x = 3
Einsetzen
f ( x ) =  ln ( x )  - ln ( 6-x )
f ( 3 ) = ln ( 3 ) - ln ( 6 -3 )
f ( 3 ) = 0
W ( 3 | 0 )
Steigung an der Stelle x = 3
f ´( x ) = 1 / x + 1 / ( 6 - x)
f ´( 3 ) = 1 / 3 + 1 / ( 6 - 3)
f ´( 3 ) = 2 / 3
Tangente
y = m * x + b
0 = 2 / 3 * 3 + b
b = -2
t = 2 / 3 * x - 2

Bei Fehlern oder Fragen wieder melden.

mfg Georg

 

Comments

Ahhhhhh gut danke :) ich danke allen 3 die geantwortet haben! :)

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Hallo Georg, der Definitionsbreich stimmt nicht.

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@gasthh91
Stimmt
f ( x ) = ln ( x )  - ln ( 6-x )
x > 0 und 6 - x > 0
x < 6
D = ] 0 ; 6 [

mfg Georg

Answer 2

Hi,

Hab die Ableitung jetzt nicht kontrolliert, aber beim Überfliegen siehts gut aus ;).

f'(x) = 0 
0 = (6-x)/x(6-x) + x/x(6-x) 
0 = 6-x + x 
0 <> 6

Hier schreibe: 6 ≠ 0

Es gibt also keine Nullstelle der ersten Ableitung und damit keine Extremstelle.

 

Beim zweiten Teil kann ich Dir nicht folgen. Was meinst Du mit "woher die Variable"?

Du hast den Wendepunkt schon bestimmt? Dann ist alles richtig :).

Oder meint er das b? Dann gibt an:

"Allgemeine Geradengleichung/Tangentengleichung: y = mx+b"

Das sollte fast schon ausreichen^^.

 

Grüße

Comments

f'(x) = 0
0 = (6-x)/x(6-x) + x/x(6-x)
0 = 6-x + x
0 <> 6

Hier schreibe: 6 ≠ 0

Es gibt also keine Nullstelle der ersten Ableitung und damit keine Extremstelle.

 

Nun ja, das ist doch keine wesentliche Änderung.
Richtig wäre etwa folgendes:

f'(x) = 0
(...)
0 = 6-x + x
0 = 6
Diese Gleichung wird für kein x erfüllt,
also hat f keine Extremstelle.

Bei Äquivalenzumformungen sollte sich die Lösungsmenge nicht ändern.
Dies war doch wohl der springende Punkt bei der Kritik des Lehrers.

Alternativ dazu kann man auf die Verwendung von Gleichungsumformungen verzichten,
indem man nur Termumformungen benutzt:

f'(x) = (...) = 6/(x*(6-x)) ≠ 0, also ist f streng monoton steigend und besitzt keine Extremstellen.