Ermittle die Krümmungsbereiche und Wendestellen der Funktion f. mit Koordinaten Wendepunkt, Wendetangentengleichungen

Question

Aufgabe:

Ermittle die Krümmungsbereiche und Wendestellen der Funktion f und gib die Koordinaten der Wendepunkte sowie Gleichungen der Wendetangenten an!

f(x) = x³ - 6x² +8x +7

Die Ableitungsfunktionen lauten:

f´(x) = 3x² +12x +8

f´´(x) = 6x +12

f´´´(x) = 6

Die Nullpunkte der Funktion f(x) = N1 (0/0) und N2 (-2/0)

Problem/Ansatz:

Scheitere schon beim berechnen von den Extrempunkten, die ich anscheinend für die Berechnung der Wendepunkte, des Monotonieverhaltens, den Wendepunkten und der Gleichung für die Wendetangenten brauche. Am liebsten hätte ich gerne eine Erklärung, die so ausführlich wie möglich ist. Danke.

Answer 1

Berechnen von den Extrempunkten kannst du für das Monotonieverhalten gebrauchen. Geht z.B. so:

(Beachte VZ bei den 12x !!!)

f ' (x) = 0 <=>  3x^2 - 12x + 8  = 0

         Das gibt mit der Mitternachtsformel in der Tat

ziemlich krumme Werte x≈0,85 oder x≈3,15.

Mit der 2. Ableitung erkennst du, dass beim ersten

Wert ein lokales Maximum und beim zweiten ein lokales

Minimum ist.  Also ist der Graph von f

monoton steigend von -∞ bis etwa 0,85

und monoton fallend von etwa 0,85 bis etwa 3,15

und monoton steigend von 3,15 bis ∞.

Für Wendepunkte brauchst du das nicht, denn da setzt du die

2. Ableitung gleich Null und hast

6x -12=0 <=>   x=2 . Wegen f ' ' ' (2)≠0 ist da ein Wendepunkt

und du hast nur 2 unterschiedliche Krümmungsbereiche, nämlich

links von der 2 und rechts von der 2.

links ist die 2.Ableitung negativ, also Rechtskrümmung

und rechts von der 2 Linkskrümmung.

Comments

Die Mitternachtsformel scheint ein Auslaufmodell in den Schulen zu sein, ebenso

wie Vieta. :)

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Danke! Die Mitternachtsformel ist allerdings ein Auslaufmodell und wenn es dir von einem Lehrer erklärt, der kurz vor der Rente ist, dann verstehst sowieso nichts mehr.

Stimmt den VZ-Fehler hab ich auch gerade gesehen.

Answer 2

3x² -12x +8 = 0

x^2 - 4x+8/3 =0

pq-Formel:

x1/2 = 2±√(4-8/3) = 2±√4/3

...

Wendepunkt:

6x-12 = 0

x= 2

W(2/ f(2))

Wendetangente t(x):

t(x) = (x-2)*f '(2) + f(2)

Comments

Beachte VZ-Fehler von knuffi bei

den Ableitungen.

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Lösung über die quadratische Ergänzung:

x^2+4x+\( \frac{8}{3} \)=0 |-\( \frac{8}{3} \)

x^2+4x=-\( \frac{8}{3} \)

(x+2)^2 = -\( \frac{8}{3} \)+\( 2^{2} \)=\( \frac{4}{3} \)|\( \sqrt{} \)

1.)

x+2=\( \frac{2}{3} \)\( \sqrt{3} \)

 x₁=-2+\( \frac{2}{3} \)\( \sqrt{3} \)

2.)
x+2=-\( \frac{2}{3} \)\( \sqrt{3} \)

 x₂=-2-\( \frac{2}{3} \)\( \sqrt{3} \)

Answer 3

Mein Matheprogramm meint

Wendepunkt ( 2 | 7)
Steigung Wendestelle m = -4
t (x)= m * x + b
f ( 2 ) = -4 * -2 + b
b = 15
t ( x ) = -4 * x + 15

Krümmung ( postiv, Linkskrümmung )
6 * x -12 > 0
x > 2

Krümmung ( negativ, rechtskrümmung )
6 * x -12 < 0
x < 2