Die Geburtenrate einer Tierpopulation sei g. Zahl der Tiere N(t) = No*e^ ((g-s)t)

Question

Die Geburtenrate einer Tierpopulation sei g, ihre Sterberate s. Zur Zeit t=0  sei eine Anzahl von N0 > 0 Tieren vorhanden. Die Zahl N(t) der Tiere zur Zeit t (größergleich) 0 errechnet sich nach

$$ N ( t ) = N _ { 0 } e ^ { ( g - s ) t } $$

1. Unter welchen Bedingungen für g und s ist N(t) streng monoton wachsend bzw. fallend?

2. Für welche Zeitpunkte t gilt N(t)=N0 bzw. N(t)= (1/2)No ?

Answer 1

1. Unter welchen Bedingungen für g und s ist N(t) streng monoton wachsend bzw. fallend?

streng monoton wachsend für g - s > 0
streng monoton fallend für g - s < 0

2. Für welche Zeitpunkte t gilt N(t)=N0 bzw. N(t)= (1/2)No ?

N(t) = N0 * e^{(g - s) * t} = N0
e^{(g - s) * t} = 1
(g - s) * t = ln(1) = 0
t = 0

N(t) = N0 * e^{(g - s) * t} = 1/2 N0
e^{(g - s) * t} = 1/2
(g - s) * t = ln(1/2)
t = ln(1/2) / (g - s)

Answer 2

Da nichts Genaues angegeben ist: Annahme s und g sind konstant und nicht von t abhängig.

1. N(t) = No*^e(g-s)t                 wobei  No und t > 0

N'(t) = (g-s) No*e^(g-s)t

N(t) ist streng monoton wachsend, falls  g - s > 0 , d.h. falls g > s.

2.  No*e^(g-s)t = 1/2 No     |:No

e^(g-s)t = 0.5               |ln

(g-s) t = ln(0.5)           |:(g-s)

t = ln(0.5) / (g-s)

Resultat t ist > 0, wenn g < s. Sonst t < 0.