Einheitskreis Homöomorphismus

Question

Hallöchen,

ich sitze gerade vor folgender Aufgabe und weiß nicht so ganz, wie ich meine Lösung vernünftig aufschreiben soll.
 

"Sei S¹ = {(x,y)∈ℝ² : x²+y²=1} der Einheitskreis.
Zeigen Sie für die Funktion f: [-π,π) → S¹ ; f(x) = (cos(x), sin(x)), dass gilt
a) f ist stetig
b) f ist bijektiv
c) f ist kein Homöomorphismus"

Ich hätte das so aufgeschrieben:
a) Da die Komponentenfunktionen von f stetig sind, ist f stetig. Außerdem lässt sich f schreiben als cos(x)+i*sin(x) und ist somit als Verknüpfung stetiger Funktionen stetig.

b) f ist bijektiv, denn [-π,π) beschreibt einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt. Jeder Wert wird also genau einmal angenommen. Die beiden Nullstellen bei -π und π kommen durch das offene Integral auch nur einmal vor

c) Die Umkehrfunktion (arccos(x), arcsin(x)) ist unstetig im Punkt (1,0), denn f(1,0) = (0,54; 0) und f^-1(1,0) = (0; 0) und somit kann kein Homöomorphismus vorliegen.

Aber wie schreibe ich das jetzt mathematisch richtig auf, dass unsere Korrekteure da auch Punkte für geben?
!

Answer 1

Meine Antwort, wenn ich das (mit genügend Zeit) korrigieren würde:$$ $$ " Da die Komponentenfunktionen von f stetig sind, ist f stetig. Außerdem lässt sich f schreiben als cos(x)+i*sin(x) und ist somit als Verknüpfung stetiger Funktionen stetig." Ja zum Ersten. Wieso lieferst du aber noch ein zweites Argument für den Beweis? (Wie in bereits in der Schule: Bei verschiedenen Lösumngsvarianten wird die schlechteste ausgesucht). Und das ist so auch nicht wirklich anwendbar (wenn dann müsste man noch was zusätzliches erwähnen.), da die Abb. nicht auf den komplexen zahlen definiert ist. $$ $$ "f ist bijektiv, denn [-π,π) beschreibt einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt." Wie kann ein interval einen Hoch- oder Tirefpunkt beschreiben? " Jeder Wert wird also genau einmal angenommen." Das ist zu zeigen. Die Behauptung in anderen Worten wiederzugeben ist i.d.R. kein Beweis. " Die beiden Nullstellen bei -π und π kommen durch das offene Integral auch nur einmal vor " (Intervall statt Integral). Das ist Spezialfall dier Aussage zuvor, trägt also nichts bei. $$ $$ "Die Umkehrfunktion (arccos(x), arcsin(x))" Das ist nicht die Umkehrfunktion von f. \( f^{-1}: S^1 \to [- \pi , \pi [ , \quad (x,y) \mapsto ... \). Es ist aber richtig, dass das Problem hier das Urbild von Umgebungen des Punktes (1,0) liegt.

Comments

1. Deinen Einwand kann ich sehr gut verstehen, ich hatte mir gedacht ich schreibe lieber mal 2 Varianten auf, bevor eine davon falsch ist :)

2. Kann ich das quasi so aufschreiben:
- f ist injektiv. Zz.: (cos(x1),sin(x1)) = (cos(x2),(sin(x2))
- f ist surjektiv. Zz: Für alle x∈[−π,π[ existiert ein y∈S¹ sodass f(x)=y. Ich sage also bspw. x=arccos(x) und x=arcsin(x) und lande dann beim einsetzen bei (x,x) ???? Wobei ich davon ausgehe, dass ich nur Punkte aus dem Intervall [−π,π[ betrachte?

3. Wie bestimme ich denn dann die Umkehrfunktion? Das hatten wir (meine ich) noch nicht in der Vorlesung (oder aber ich habe es verdrängt).
 

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"Ich sage also bspw. x=arccos(x) und x=arcsin(x) und lande dann beim einsetzen bei (x,x) ????" Nein, weil das alles schon wieder undefiniert ist. (x,x) ist nie im Intervall und sehr selten im Kreis. Die Surjektivität ist nicht sonderlich schön zu zeigen,es läuft auf den Beweis raus, dass die komplexe e-Funktion \( \mathbb C^*\) als Bild hat. Falls ihr den schon hattet kann man das hier sinnvoll einbauen.$$ $$ 3. Am Besten gar nicht. Es gibt keine allgemeine Methode Umkehrfkt. zu bestimmen und oftmals lässt sich die Umkehrfunktion auch nicht schön darstellen. Die konkrete bestimmung ist nicht nötig, wir kennen ja f.

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Meinst du mit ℂ* die komplexen Zahlen? Oder die Menge der stetigen Funktionen (das ist nämlich unser Zeichen dafür).
Ich verstehe gerade noch nicht so ganz, worauf das hinauslaufen soll.

Also wir hatten zum Thema komplexe Zahlen:
- Die Abb. ℝ² nach ℂ ist bijektiv, jede komplexe Zahl entspricht also umkehrbar eindeutig einem Punkt aus der reellen Ebene (ohne Beweis)
- Rechenregeln komplexer Zahlen
- Konvergenz einer komplexer Folge
- Aufteilung in Real- und Imaginärteil (u.a. auch Potenzen von i)
Und dann geht es auch schon mit Metriken los.

Kann ich die Bemerkung zur Bijektivität nicht einfach hier anwenden? Und dann bin ich fertig?
Weil x²+y² = cos²(x)+sin²(x) = e^ixe^i(-x) = 1 und das ist ja in ℂ. Und [-π,π[ liegt in ℝ²..... Oder ist das auch zu einfach gedacht?

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Und das mit der Umkehrabb. habe ich auch noch nicht so ganz verstanden. Habe jetzt nochmal im Skript geschaut und folgenden Satz gefunden:
Sei f: X → Y eine bijektive, stetige Abb und X ein kompakter metrische Raum. Dann ist auch die Umkehrabb. stetig.

Hilft mir das? Ich meine, f ist ja stetig und bijektiv. Und [-π,π[ ist nicht kompakt, das offenes Intervall. Aber heißt das automatisch, dass die Umkehrfunktion nicht stetig ist? Heißt das nicht nur, dass die Umkehrfunktion nicht stetig sein muss???

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"Meinst du mit ℂ* die komplexen Zahlen? Oder die Menge der stetigen Funktionen (das ist nämlich unser Zeichen dafür). " Komplexe zahlen ohne Null. Das zeichen für stetige Funktionen ist \( \mathcal (C) \). hattet ihr Polarkoordinaten? Das wär auch so was. Ansonsten musst du das per Hand machen. "Und [-π,π[ liegt in ℝ²" Diesen Satz würde ich so nie schreiben. Mann kann es mit einer einer Teilmenge identifizieren, aber das intervall ist keine Teilmenge, da keine Vektoren enthalten sind.

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Polarkoordinaten hatten wir noch nicht.
Kann ich das vielleicht so machen, wie hier?

http://home.mathematik.uni-freiburg.de/mathphys/lehre/WS0607/prasenz13_loes.pdf

Nur, damit ich eine Vorstellung davon habe.
Da ja gilt cos(-x) = cos(x) und sin(-x) = - sin(x) und die beiden Funktionen sind 2π-periodisch kann ich ja statt [-π,π[ auch [0,2π[ betrachten, oder nicht? Bei injektiv würde sich ja nichts ändern, lediglich bei der Surjektivität müsste ich aufpassen. Weil durch das Verschieben des Defbereiches wird die Funktion surjektiv.
Ich hoffe, ich schreibe hier gerade nicht nur Müll. Habe heute schon eine Klausur hinter mir (zufälligerweise auch Analysis) und die hat mich ziemlich geschlaucht.

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Die zeigen, dass die Abb. nicht surjektiv ist. Ich wüßte nicht wie man damit Surjektivität beweisen kann.

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f bijektiv = f streng monoton wachsend und stetig.

cos(x)+i*sin(x) ist doch streng monoton wachsend, oder nicht?
Annahme: x1 < x2.
=> cos(x1)+i*sin(x1) < cos(x2)+i*sin(x2)
     cos(x1)-cos(x2) +i* [ sin(x1)-sin(x2)] < 0
     Wahre Aussage für alle x aus [-π,π[

Ist wahrscheinlich auch noch zu ungenau, oder? Weiß aber gerade nicht, wie ich das weiter umformen soll....

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"cos(x)+i*sin(x) ist doch streng monoton wachsend, oder nicht?" Nein. In den komplexen Zahlen gibt es kein "kleiner " oder "größer"$$ $$ "Wahre Aussage für alle x aus [-π,π[" x kommt im Beweis gar nicht vor?! $$ $$ Bsp. hier http://www.math.uni-kiel.de/geometrie/klein/anass12/fr1805.pdf wäre ein Beweis.