Hallöchen,
ich sitze gerade vor folgender Aufgabe und weiß nicht so ganz, wie ich meine Lösung vernünftig aufschreiben soll.
"Sei S1 = {(x,y)∈ℝ2 : x²+y²=1} der Einheitskreis.
Zeigen Sie für die Funktion f: [-π,π) → S1 ; f(x) = (cos(x), sin(x)), dass gilt
a) f ist stetig
b) f ist bijektiv
c) f ist kein Homöomorphismus"
Ich hätte das so aufgeschrieben:
a) Da die Komponentenfunktionen von f stetig sind, ist f stetig. Außerdem lässt sich f schreiben als cos(x)+i*sin(x) und ist somit als Verknüpfung stetiger Funktionen stetig.
b) f ist bijektiv, denn [-π,π) beschreibt einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt. Jeder Wert wird also genau einmal angenommen. Die beiden Nullstellen bei -π und π kommen durch das offene Integral auch nur einmal vor
c) Die Umkehrfunktion (arccos(x), arcsin(x)) ist unstetig im Punkt (1,0), denn f(1,0) = (0,54; 0) und f-1(1,0) = (0; 0) und somit kann kein Homöomorphismus vorliegen.
Aber wie schreibe ich das jetzt mathematisch richtig auf, dass unsere Korrekteure da auch Punkte für geben?
!