Dgl. 2 Ordnung. Lösung des AWP

Question

Wir sollen die Lösung des  AWP und die Amplitude aus der stationären Lösung berechnen.

\( x^{II}+\frac{2}{3} x^{I}+x=\cos \left(\sqrt{\frac{7}{3}} \cdot t\right) \)
\( x(0)=0=x^{\prime}(0) \)

Answer 1

Lösungsansatz:

x_p(t) = A*sin(√(7/3)*t) + B*cos(√(7/3)*t)

1. Ableitung: x'_p(t) = A*√(7/3)*cos(√(7/3)*t) - B*√(7/3)*sin(√(7/3)*t)

2. Ableitung: x''_p(t) = -A*(7/3)*sin(√(7/3)*t) - B*(7/3)*cos(√(7/3)*t)

x_p(t), x'_p(t) und x''_p(t) in die DGL einsetzen

Nach sin(..) und cos(..) sortieren und einen Koeffizientenvergleich machen, um die Konstanten A und B zu bestimmen.

Somit erhält man die Lösung der Gleichung für x_p(t)

Danach für x(t) = x₀(t) + x_p(t) den Lösungsansatz x₀(t) = e^-1/3*t*(C1*cos((√8)*t/3) + C2*sin((√8)*t/3) wählen (falls nicht nachvollziehbar, bitte melden, das hängt von den Faktoren vor x' und x in der Ausgangsgleichung ab)

Dann die Bedingungen x(t = 0) = 0 und x'(t = 0) = 0 nutzen, um die Konstanten C1 und C2 zu ermitteln.

In x₀(t) einsetzen und fertig ist die Lösung für x(t).