in einer Aufgabe soll ich eine Transformationsmatrix für die Basistranformation von der Basis der Bernsteinpolynome 2. Grades zur Basis der Lagrangepolynome 2. Grades berechnen.
Dabei lauten die ersten drei Lagrange-Polynome:
$$L_0 = (x-1)(x-2)/2, ~L_1 = -x(x-2),~L_2 = x(x-1)/2$$
und die ersten drei Bernsteinpolynome
$$B_0 = (1-x)^2, ~B_1 = 2x(1-x),~B_2 = x^2$$
Ich weiss, dass es fertige Formeln für das Berechnen von Transformationsmatrizen gibt, aber ist dieser Ansatz hier und die daraus folgende Lösung korrekt?
Also ich habe einen Vektor
$$p = a_2 x^2 + a_1 x + a_0$$ in der Basis der Bernsteinpolynome gegeben, also
$$p = a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = \lambda_0 B_0 + \lambda_1 B_1 + \lambda_2 B_2$$
wobei die Lambdas die Koordinaten bezüglich der Bernsteinpolynome von p sind.
Ich möchte p nun in Form der Lagrangepolynome darstellen, also
$$\lambda_0 B_0 + \lambda_1 B_1 + \lambda_2 B_2 = \mu_0 L_0 + \mu_1 L_1 + \mu_2 L_2$$
Durch einsetzen der Basenvektoren, ausmultiplizieren und zusammenfassen kommt dabei raus
$$x^2(\lambda_0 - 2\lambda_1 + \lambda_2) + x(-2\lambda_0 + 2\lambda_1) + \lambda_0 = x^2(\frac{1}{2}\mu_0 - \mu_1 + \frac{1}{2}\mu_2) + x(-\frac{3}{2}\mu_0 + 2\mu_1 - \frac{1}{3} \mu_2) + \mu_0$$
Durch Koeffizientenvergleich komme ich also auf ein LGS
$$\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -1 & \frac{1}{2} & | & \lambda_0 - 2\lambda_1 + \lambda_2 \\
-\frac{3}{2} & 2 & -\frac{1}{3} & | & -2\lambda_0 + 2\lambda_1 \\
1 & 0 & 0 & | & \lambda_0 \end{bmatrix}$$
Das zu lösen bringt mich dann schließlich auf das, was ich meine, das die Transformationsmatrix ist
$$T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -\frac{1}{8} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} & -3 & 3\end{bmatrix}$$
Mal davon abgesehen, wie umständlich ich das gemacht habe, sind Ansatz und Weg richtig?
Danke,
Thilo
