Gibt es eine Gegenmatrix?

Question

Thema Matrizen.

Wenn:

3+0=3

5*1=5

ist, dann haben sie keine Wirkung auf das Ergebnis -> Egal was passiert das Ergebnis verändert sich nicht.

3+(-3)=0

5*1/5=1

der Kehrwert.

Gibt es im Bereich Matrizen auch so etwas, also die sog. Gegenmatrix?

Konkretes Beispiel:

\( \left(\begin{array}{ll}3 & 4 \\ 5 & 8\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}3 & 4 \\ 5 & 8\end{array}\right) \)

Gibt es aber auch eine Gegenmatrix, damit:

\( \left(\begin{array}{ll}3 & 4 \\ 5 & 8\end{array} \right) \times\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right\} \)

a, b, c, d stehen für Variablen, welche die Gegenmatrix darstellen sollen.

Answer 1

Die "Gegenmatrix" zur Matrix A wird als Inverse Matrix von A (oft auch einfach kurz: Inverse von A) bezeichnet und in der Regel als A ^-1 geschrieben.

Die Inverse von A existiert genau dann, wenn det ( A ) ≠ 0 ist. Ist das der Fall, dann bezeichnet man die Matrix A als invertierbar.

 

In deinem Beispiel ist

$$A=\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}$$

Es ist:

det ( A ) = 3 * 8 - 4 * 5 = 4 ≠ 0

Also ist A invertierbar.

Die Inverse von A ist:

$${ A }^{ -1 }=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -\frac { 5 }{ 4 }  & \frac { 3 }{ 4 }  \end{pmatrix}$$

Probier's aus!

Answer 2

Ja, die "Gegenmatrix" nennt man inverse Matrix. Sie existiert aber nicht zu jeder gegebenen Matrix.

https://de.wikipedia.org/wiki/Inverse_Matrix