exponentialfunktion wachstum

Question

Ein kondensator ist ein speicher für elektrische energie, vergleichbar mit einem akkumulator. Wird aus ihm elektrische energie entnommen, so sinkt die spannung am kondensator stetig ab. In einem experiment wurde die entladekurve des kondensators aufgenommen, in dem bestimmten zeitabstände die spannung am kondensator gemessen wurde. es ergab sich folgende wertetabelle" ( Zeit in s 0 /10/ 20 /30/ 40 /50/60 /70 80 /90) ( Spannung u in v: 10/ 8,41/ 7,07/ 5,94 /5 /4,20 /3,53/ 2,97 /2,50 /2,10 a) Beschreiben sie den wachstum/ zerfallvorgang durch eine Gleichung möglich vollständig b) wie hoch ist die spanung am kondensator nach 45 sekunden? Also ich habe problem bei gleichung von der werte tabelle zu erstellen.. können sie mir villeicht erklären wie man es erstellt danke:)

Answer 1

a)

Nun, das exponentielle Wachstum folgt der allgemeinen Formel:

B ( t ) = B ( 0 ) * e ^{k t}

Wobei

t die Zeit seit Beginn der Beobachtung
B ( t ) der Bestand zum Zeitpunkt t 
B ( 0 ) der Anfangsbestand zum Zeitpunkt t = 0
k der Wachstumsfaktor bzw. Zerfallsfaktor

ist.

( Da der "Bestand" B vorliegend die Spannung U ist, ersetze ich im Folgenden B durch U)

 

Die allgemeine Formel hat einen Parameter , nämlich den Wachstumfaktor k.
Zu dessen Bestimmung genügt es, eines der gegebenen Wertepaare zu nehmen, es in die allgemeine Formel einzusetzen und diese dann nach k aufzulösen. Das gewählte Wertepaar darf dabei allerdings nicht dasjenige zum Zeitpunkt t = 0 sein.
Ich nehme das letzte Wertepaar, also  ( 90 | 2,10 ) . Der Anfangsbestand B ( 0 ) ist vorliegend gleich 10 V, also:

Einsetzen in die Formel ergibt:

U ( 90 ) = 10 * e ^{k 90}  = 2,1

<=> e ^{k 90}  = 0,21

<=> k * 90 = ln ( 0,21 )

<=> k = ln ( 0,21 ) / 90 ≈ -0,01734053

Somit lautet die Zerfallsgleichung für die vorliegende Aufgabenstellung:

U ( t ) = 10 * e ^{-0,01734053 * t}

Probe:

U ( 30 ) = 10 * e ^{-0,01734053 * 30} ≈ 5,94 V

Vergleich mit der Tabelle zeigt Übereinstimmung.

 

b) Nach 45 Sekunden ist:

U ( 45 ) = 10 * e ^{-0,01734053 * 45} ≈ 4,58 V

Comments

das ist ein schönes Beispiel für die Berechntigung der Frage https://www.mathelounge.de/131843/halbwertzeit-warum-diesem-fall-funktion-formel-verwendet

Mit der offensichtlichen Halbierungszeit von 40s lässt sich die Entladefunktion  U(t) = 10V·2^-t/40s  nämlich ohne Rechnung sofort hinschreiben.

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<=> e k 90  = 0,21<=> k * 90 = ln ( 0,21 )<=> k = ln ( 0,21 ) / 90 ≈ -0,01734053Also diesen schritt verstehe ich nicht woher kommen 0,21 und was ist ln

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Die 0,21 ergibt sich, wenn man in der Gleichung

10 * e ^{k 90}  = 2,1

beide Seiten durch 10 dividiert.

<=> e ^{k 90}  = 0,21

 

ln ( x )  ist die natürliche Logarithmusfunktion, also die Logarithmusfunktion zur Basis e.
ln ( x ) ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion e ^x .
Es gilt also:

ln ( e ^x ) = x

Und daher gilt:

e ^{k 90}  = 0,21

beide Seiten mit dem natürlichen Logarithmus logarithmieren:

<=> ln ( e ^{k 90}  ) = ln ( 0,21 )

<=> k * 90 = ln ( 0,21 )

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Ein Praktiker, der sich Meßungenauigkeiten bewußt ist, würde
ein Diagramm zeichnen und eine mittlere Kurve durch die
Meßwerte legen.
So haargenau mathematisch sind nämlich Meßwerte
in der Regel nicht.
mfg Georg