Eindeutige Lösbarkeit der Anfangswertprobleme zeigen mit Hilfe des Satzes von Picard Lindelöf

Question

Seien T>0, I=[0,T] ein Intervall und c, c₁, c₂≥0. Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von Picard Lindelöf (globale Version) die eindeutige Lösbarkeit folgender Anfangswertprobleme.

y'(t)=1/(1+t^2+y(t)^2) , t∈I

y(0)=c

y₁'(t)=y₁(t)-y₂(t),  t∈I

y₂'(t)=-y₂(t)+2y₁(t), t∈I

y₁(0)=c₁

y₂(0)=c₂

Comments

Ist das schon deine Lösung?

Was genau sind diese 1 und 2 in 

y1'(t)=y1(t)-y2(t),  t∈I  ?

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Die 1 und die 2 sind nur Koeffizienten. Wusste leider nicht, wie man die Zahlen klein darstellt.

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Ich würde die gleich noch verkleinern, wenn ich wüsste, was das ist. Eine Nummerierung? Eine partielle Ableitung nach t oder y?

EDIT: Zum Tiefstellen kannst du künftig den Knopf 'x₂' über dem Editor benutzen. Du musst da konsequent jeweils nochmals drauf drücken spätestens vor einem Zeilenumbruch, ansonsten bleibt die Schrift kleiner.

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Ich würde es einfach als Nummerierung verstehen, aber es stand nichts genaueres dazu in der Aufgabe. Hast du denn eine Idee, wie man mit dem oben erwähnten Satz an die Aufgabe herangehen soll?

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Vermutlich wollen die indirekt vorgehen.
Also Annahme: Es gibt 2 verschiedene Lösungen. Und dann mit Widerspruch zeigen, dass die beiden gleich sein müssen.
Lies aber erst mal den angegebenen Satz genau. Du sollst den ja benutzen.

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Gut, dann werde ich das erstmal versuchen. Werde mich heute oder Morgen noch einmal melden, falls ich nicht weiterkomme. Danke schon einmal.

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Komme ehrlich gesagt nicht so wirklich weiter. Ich soll ja den Satz von Picard Linelöf benutzen, der lautet:

Sei I=[a,b] ⊂ ℝ ein kompaktes Intervall, t₀ ∈ I und y₀ ∈ ℝ^n. Sei ferner f: I × ℝ^n → ℝ^n eine stetige Funktion, die einer globalen Lipschitz Bedingung genügt, d.h.

∃ L ≥ 0 ∀ t ∈ I ∀ y₁, y₂∈ ℝ^n : | f(t,y₁) - f(t,y₂)| ≤ L | y₁ - y₂|.

Dann existiert genau eine Lösung y∈C^1 (I, ℝ^n)  des Anfangswertproblems

y'(t)=f(t,y(t)), t∈I,   y(t₀) = 0

Kannst du mir im Zusammenhang mit diesem Satz noch einen Tipp geben und vielleicht noch ein Beispiel? Wäre sehr dankbar dafür.

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Jemand mittlerweile eine Lösung? Ich habe das selbe Problem und kann mir absolut nicht helfen:(

Answer 1

du musst eigentlich nur die Voraussetzungen des Satzes von Picard Lindelöf beweisen, also dass das Intervall I = [0, T] kompakt ist (trivial, kann man als gegeben annehmen), dass \( f(y, t) \) , beziehungsweise \( \vec f(\vec y) \), stetig ist und einer globalen Lipschitz-Bedingung genügt.

Mit Hilfe des Satzes von Picard-Lindelöf ist dann gezeigt, dass die Lösungen eindeutig sind, sofern man jene Version des Satzes angibt, die nicht nur \( y(t_0) = 0 \), sondern allgemeiner \( y(t_0) = y_0 \) folgert.

MfG

Mister

Comments

Danke für die Antwort. Hört sich machbar an. Kannst du es mir vielleicht trotzdem an einem Beispiel oben zeigen? Nur zur Sicherheit.

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Vielleicht probierst du's zur Sicherheit erstmal selber :)

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Ich verstehe aber trotzdem noch nicht wie ich dass zeigen soll.Kannst du den Anfang vielleicht mal zeigen.

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Du musst die Stetigkeit von

\( f(y, t) = \frac{1}{1 + t^2 + y^2} \)

zeigen. Selbiges gilt für die beiden Funktionen \( f_1 \) und \( f_2 \) des zweiten Anfangswertproblems.