Zeigen Sie, dass f=0 ist in einem Integral

Question

Sei \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}, a<b \), stetig mit \( \int \limits_{a} f(x)^{2} \mathrm{~d} x=0 \). Zeigen Sie, dass \( f=0 \) ist.

Wie kann man das denn zeigen?

Answer 1

f(x)^2 ≥ 0

Sollte der Graph mit der x-Achse also eine Fläche bilden ist diese immer oberhalb der x-Achse und damit ist jedes Integral über diese Fläche positiv.
Wenn also die Fläche des Graphen mit der x-Achse 0 ist muss der Graph auf der x-Achse liegen.

Comments

also muss man sich auf das Intervall beziehen, um es zu zeigen?

---

Ja. Ein Integral ist ja die gerichtete Fläche zwischen Graph und der x-Achse.

Wenn das Integral 0 ist bedeutet es dass die Fläche unterhalb der x-Achse genau so groß ist wie die oberhalb der x-Achse.

Wenn die Fläche unterhalb der x-Achse aber 0 ist weil nicht existent, dann muss die auch oberhalb der x-Achse null sein.

---

Der Beweis ist damit noch nicht ganz fertig. Es kann durchaus einzelne Punkte geben, an denen der Funktionswert positiv ist, und trotzdem das Integral Null. Z.B. \(f: [0,2] \to\mathbb{R}, x\mapsto f(x):= \begin{cases} 1 &, x=1 \\ 0 &, x\neq 1 \end{cases} \).
Dann ist \(\int_0^2 \! f(x) \, dx =0.\)
Man muss also noch zeigen, dass so etwas für \(f^2\) nicht passieren kann (dazu benutzt man die Stetigkeit von \(f\)).