Determinante, 3x3 Gleichungssystem

Question

gegeben ist folgendes Gleichungssystem (hab ich mir selbst "ausgedacht"):
$$A*x=b$$
$$ A=\left(\begin{matrix} 1&-2&5\\4&3&s\\2&4&-5 \end{matrix}\right), \vec b=\left(\begin{matrix} 2\\5\\4 \end{matrix}\right) $$
A1: Man bestimme alle Werte von s, für die das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist.

Ich habe die Determinante ausgerechnet und bin für den Wert s=-5/8 gestoßen.
Das Gleichungssystem ist für alle Werte ungleich s lösbar. Falls ich jetzt einen Wert für s angeben sollte, damit das Gleichungssystem lösbar ist, könnte ich einen Wert für s ungleich -5/8 angeben und x somit mit der cramerischen Regel ausrechnen?

bzw. hätte ich damit eine eindeutige Lösung? Soweit ich weiß, ist das Gleichungssystem nur dann invertierbar, wenn die det |A| ungleich Null ist (lineare Abbhägigkeit, das heißt ja die Vektoren sind kollinear)

Comments

Meinte natürlich, dass, wenn det |A|=0 die Matrix |A| nicht invertierbar ist und die Vektoren linear abhängig sind...

Answer 1

DET([1, -2, 5; 4, 3, s; 2, 4, -5]) = - 8·s - 5 = 0

s = - 5/8

Für s <> -5/8 ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar. Man kann dann auch eine Inverse bilden. Die Inverse lautet dann

[(4·s + 15)/(8·s + 5), - 10/(8·s + 5), (2·s + 15)/(8·s + 5);
- 2·(s + 10)/(8·s + 5), 15/(8·s + 5), (s - 20)/(8·s + 5);
- 10/(8·s + 5), 8/(8·s + 5), - 11/(8·s + 5)]

Ok. Das sieht jetzt in Textform nicht so schön aus. Aber du wolltest ja auch nicht die inverse haben sondern nur wissen ob das dann geht.

Comments

Top! Herzlichen Dank! Echt Klasse!!!

Answer 2

soweit ich das sehe, hast du eigenlich schon alles verstanden.

Du scheinst nur estwas unsicher zu sein, was den Unterschied von "Lösbarkeit" und "eindeutige Lösbarkeit" angeht.

Du schreibst:

"Ich habe die Determinante ausgerechnet und bin für den Wert s=-5/8 gestoßen.
Das Gleichungssystem ist für alle Werte ungleich s lösbar. Falls ich jetzt einen Wert für s angeben sollte, damit das Gleichungssystem lösbar ist, könnte ich einen Wert für s ungleich -5/8 angeben und x somit mit der cramerischen Regel ausrechnen?"

Genauer gitl:

Das Gleichungssystem ist für alle s ungleich -5/8 eindeutig lösbar. Falls ich jetzt einen Wert für s angeben sollte, damit das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, könnte ich einen Wert für s ungleich -5/8 angeben.

Damit ist die von dir gestellte Frage beantwortet.

Alles andere sind Zusatzfragen:

Wie sieht es mit der Lösbarkeit für den Fall s=-5/8 aus? (mehrdeutig lösbar oder unlösbar?)

Wie berechnet man die Lösungen für ein bestimmtes s ungleich -5/8 (z.B. mit dem Gauß-Verfahren, über Determeinanten - das wäre sehr aufwändig - oder einfach mit ienem geeignbetenTool, Taschenrechner oder CAS)

Eine Checklist, was es bei Linearen Gleichungssystemen zu können gibt, findest du hier:

www.mathebaustelle.de/lineare_algebra/lgs/checklist_lgs.pdf