Rang der Matrix bestimmen 4x5

Question

Bestimmen Sie den Rang der folgenden Matrix:

(2, 6, 2, 4, 6

 0, 0, 1, 1, 4

 1, 3, 1, 2, 4

 3, 9, 3, 6, 9)  ∈ Mat₄×5 (ℝ)

Answer 1

Kannst du die Matrix mit dem Gauss in die Zeilenstufenform bringen?

Kannst du aus der Zeilenstufenform dann den Rang ablesen?

Wo genau hast du Probleme?

Comments

Eigentlich schon bei der Zeilenstufenform. Ich weiß nie so richtig, mit welcher Umformung ich am besten anfangen soll und dann versuche ich endlos umzuformen und es kommt nichts vernünftiges raus. Kannst du mir da vielleicht ein paar Tipps geben?

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Ordne zunächst mal die Zeilen anders an

[1, 3, 1, 2, 4]
[2, 6, 2, 4, 6]
[3, 9, 3, 6, 9]
[0, 0, 1, 1, 4]

Nun bringt man alle Elemente unter der ersten 1 in der 1. Spalte auf 0

II - 2*I, III - 3*I

[1, 3, 1, 2, 4]
[0, 0, 0, 0, -2]
[0, 0, 0, 0, -3]
[0, 0, 1, 1, 4]

Nun sind die 2. und 3. noch linear abhängig und ich kann eine rauswerfen, bleibt umgeordnet

[1, 3, 1, 2, 4]
[0, 0, 1, 1, 4]
[0, 0, 0, 0, -2]

Also nur noch 3 unabhängige Zeilen, weswegen der Rang dann 3 ist.

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Heißt also, ich muss immer sehen, dass ich möglichst viel in der Matrix so umformen kann, dass möglichst etwas rausfällt und die Matrix somit kleiner wird. Ist es dabei eigentlich egal, wie breit oder hoch die Stufen sind? Muss man da ein bestimmtes Muster erkennen? Gibt es bei dem ganzen eigentlich ein Rezept, wie man am besten anfängt? Mein Problem ist, glaube ich, dass ich einfach nicht den Anfang sehen und dann versuche irgend etwas umzuformen.

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Du formst das ganze mit dem Gauss-Algorithmus um.

--> https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsches_Eliminationsverfahren

Damit bringst du deine Matrix in die gewünschte Stufenform.

Dabei kann es passieren das Zeilen vielfache voneinander sind.  Dann kann man linear abhängige Zeilen streichen.

Übrig bleiben die Linear unabhängigen Zeilen.

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Du hast die elementaren Zeilenumformungen zur Verfügung, um die Matrix in Zeilenstufenform zu bringen. Diese kannst du beliebig anwenden. Ich mache es immer so, dass ich die erste Spalte auf 0 bringe ( exklusive 1. Zeile ), dann die 2. Spalte ( exklusive 1., 2. Zeile ) usw.

Manchmal geht es schneller, wenn man Zeilen oder Spalten tauscht. Das ist Übung.

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Dann werde ich mir mal ein paar Aufgaben zum Üben suchen. Und den Artikel auf Wikipedia werde ich mir natürlich auch genau durchlesen.

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Hier auf dieser Seite gibt das sehr viele Aufgaben zum Gauss-Verfahren. Meistens löse ich sie allerdings nicht in Matrizenform sondern als Gleichungen. Das macht aber nichts. Bei Matrizen schreibt man nur die Rechenzeichen und die Variablen nicht mit.

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Dann werde ich mich mal darin versuchen.