Question

Diskutieren Sie die Extrema der Funktion f(x):= 2x^3-7x^2

Comments

Wo liegt das Problem? Sieht die Funktion so aus?

Du hattest doch vorher Funktionen mit 2 Variabeln.

Kannst du schon ableiten?

Answer 1

f(x) = 2·x^3 - 7·x^2

f'(x) = 6·x^2 - 14·x

f''(x) = 12·x - 14

Extrema f'(x) = 0

6·x^2 - 14·x = 0
x = 7/3 ∨ x = 0

f(7/3) = - 343/27 = -12.70 --> Tiefpunkt (7/3 | - 343/27)
f(0) = 0 --> Hochpunkt (0 | 0)

Answer 2

Extremstellen von f ( x ) liegen höchstens an den Stellen x vor, an denen gilt:

f ' ( x ) = 0

Also:

f ' ( x ) = 6 x ² - 14 x = 0

<=> x ( 6 x - 14 ) = 0

<=> x = 0 oder 6 x = 14

<=> x = 0 oder x = 14 / 6 = 7 / 3

Kandidaten für Extremstellen sind also:

x₁ = 0 und x₂ = 7 / 3

 

An einer Stelle x liegt tatsächlich eine Extremstelle von f ( x )  vor, wenn gilt:

f ' ' ( x ) = 12 x - 14 <> 0

und zwar ein Maximum, falls gilt:

f ' ' ( x ) < 0

und ein Minimum, falls gilt:

f ' ' ( x ) > 0

 

Es ist: 

f ' ' ( x₁ = 0  ) = 12 x₁ - 14 = 0 - 14 = - 14 < 0

Also liegt an der Stelle x₁ = 0 tatsächlich ein Maximum von f ( x ) vor.

Es ist: 

f ' ' ( x₂ = 7 / 3  ) = 12 ( 7 / 3 ) - 14 = 28 - 14 = 14 > 0

Also liegt an der Stelle x₂ = 7 / 3 tatsächlich ein Minimum von f ( x ) vor.

Die jeweiligen Funktionswerte erhält man durch Einsetzen der Extremstellen in den Funktionsterm von f ( x ).

 

Hier zum Vergleich ein Schaubild des Graphen von f ( x ):

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2x^3-7x^2