DGL 2. Ordnung mit konstantem Koeffizienten

Question

Wie würdet ihr folgende DGL lösen? 

 

y^´´ + 4y^´ + 8y = 0 

 

y^´´´ - 4y^´´ +  4y^´ = 0 

Answer 1

Hi Kickflip,

sind doch nur homogene DGLs.

Wähle den Ansatz: y = e^{λx}

y''+4y'+8y = 0

Mit Ansatz: (e-Funktion fällt aus, da überall als Faktor dabei, aber nie 0 wird)

λ^2+4λ+8 = 0

λ_1,2 = -2±2i

 

Das nun noch aufschreiben. Beachte, dass das mit Sinus und Cosinus geschrieben wird.

y = c₁*e^{-2x}sin(2x) + c₂*e^{-2x}cos(2x)

 

Den zweiten überlasse ich Dir. Frag wenn was unklar ist :).

 

Grüße

Comments

Danke
Bin auf die selbe Lösung gekommen, aber ohne sin und cos im Endergebnis. Wieso muss das da hin? :-) 

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Es gilt λ_1,2 = a+bi

führt auf f₁ = e^{ax}sin(bx) und f₂ = e^{ax}cos(bx)

wobei das ein (Teil eines) Fundamentalssystems bildet.

 

Komplexe Lösungen sind meines Wissens nicht gern gesehen ;).

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Und woher kommt nun der sin und der cos?
Schreibt man komplexe Zahlen immer so auf, wenn sie für Lambda raus kommen?

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Das kommt aus der Eulerschen Identität.

Und ich sag mal vorsichtig "Ja". "immer" ist ein so starkes Wort ;).

Generell sind aber komplexe Fundamentalssysteme nicht so gern gesehen, würde ich sagen.

 

Merken:

Es gilt λ_1,2 = a+bi

führt auf f₁ = e^axsin(bx) und f₂ = e^axcos(bx)

 

;)

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Alles klar. Komme bei 


y^´´´ - 4y^´´ +  4y^´ = 0 

 

auf

 

ae^{2x} + be^{2x} + ce^{0x}

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Das charakteristische Polynom hast Du offensichtlich richtig gelöst, aber nicht richtig angegeben.

Bei einer Vielfachheit >1 muss das Ergebnis so angegeben werden:

 

ae^2x + bxe^2x + ce^0x = ae^2x + bxe^2x + c

 

Also noch einen zusätzlichen Faktor! Sicher schon gesehen ;).

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Leider noch nicht gesehen, da dieses Thema totales Neuland für mich ist. Bereite die Uniwoche am liebsten immer schon zeitnah vor. Danke für die Hilfe!

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Ah ok. Mustergültig^^.

Dann weißt Du aber nun Bescheid ;).


Gerne