Stetigkeit: f mit f(0)=1 und f(x+y)≤f(x) f(y). Beweise: aus Stetigkeit von f in 0 folgt Stetigkeit von f auf ganz ℝ.

Question

Sei f: ℝ→ℝ eine funktion mit f(0)=1 und f(x+y)≤f(x) f(y). Beweisen Sie, dass aus Stetigkeit von f in 0 schon Stetigkeit von f auf ganz ℝ folgt.

( hinweis: verwenden sie die folgenformulierung der stetigkeit)

Answer 1

Sei x₀ beliebig aus ℝ gegeben und (x_n)_n∈ℕ eine Folge mit $$ \lim\limits_{n\to\infty}x_{n} = x_0$$

Zu zeigen: $$ \lim\limits_{n\to\infty}f(x_{n}) = f(x_0)$$

Da f(x_n - x₀ + x₀) ≤ f(x_n - x₀)f(x₀) (nach Voraussetzung)

und $$ \lim\limits_{n\to\infty}(x_{n} - x_0)=0$$ folgt aus der Stetigkeit in x=0: $$ \lim\limits_{n\to\infty}(f(x_{n})-f(x_0))=f(0)=1$$

Damit folgt lim sup_n→∞  f(x_n) ≤ f(x₀)

Analog (mit (x₀ - x₀ + x_n)) zeigt man: lim inf_n→∞ f(x_n) ≥ f(x₀)

Daraus folgt insgesamt, daß $$ \lim\limits_{n\to\infty}f(x_{n}) $$ existiert und gleich f(x₀) ist.

Da x₀ beliebig war, ist die Stetigkeit auf ℝ gezeigt.