0 Daumen
1,2k Aufrufe

Beispiel:

Man gebe die Partialbruchzerlegung für den Polynombruch

\( y=\frac{x^{2}-6 x+3}{x^{3}-15 x^{2}+75 x-125} \)

an.

Lösung:

Das Nennerpolynom hat bei \( x=5 \) eine dreifache Nullstelle \( x_{1}=x_{2}=x_{3}=5 \), da man es als dritte Potenz von \( x-5 \) schreiben kann:
\( x^{3}-15 x^{2}+75 x-125=(x-5)^{3} \)

Damit lautet der unbestimmte Ansatz für die Partialbruchzerlegung:

\( \frac{x^{2}-6 x+3}{(x-5)^{3}}=\frac{A_{1}}{x-5}+\frac{A_{2}}{(x-5)^{2}}+\frac{A_{3}}{(x-5)^{3}} \)

Die Multiplikation beider Seiten mit dem Nenner der linken Seite führt auf

\( x^{2}-6 x+3=A_{1}(x-5)^{2}+A_{2}(x-5)+A_{3} \)

Zur Bestimmung von \( A_{1}, A_{2} \) und \( A_{3} \) kann wieder einer der beiden Wege (I) oder (II) eingeschlagen werden:

Einsetzen bestimmter x-Werte. Mit x = 5 erhält man zunächst \( A_{3}=-2 . \) Die übrigen x-Werte wird man zweckmäßigerweise so wählen, dass die Faktoren rechts klein bleiben:

\( \begin{aligned} \textcolor{#F00}{x=6}: & 3=A_{1}+A_{2}-2 \\ \textcolor{#F00}{x=4}: &-5=A_{1}-A_{2}-2 \end{aligned} \)

Aus diesen beiden Gleichungen berechnet man \( A_{1}=1 \) und \( A_{2}=4 \).


Ansatz/Problem:

Das, was ich nicht verstehe, habe ich rot markiert.

1) Woher kommen x = 6, x=4?

2) Beispiel:

\( \frac{x-5}{(x-3)^{2}}=\frac{A_{1}}{x-3}+\frac{A_{2}}{(x-3)^{2}} \)
\( x-5=A_{1}(x-3)+A_{2} \)
Einsetzungsverfahren:
\( x=3 \rightarrow 3-5=A_{2}=-2 \)
Wie mache ich das für \( A_{1} ? \) Geht das ohne Koeffizientenvergleich?

Avatar von

2 Antworten

+2 Daumen
 
Beste Antwort

Der Ansatz war

(x^2 - 6·x + 3)/(x - 5)^3 = a/(x - 5) + b/(x - 5)^2 + c/(x - 5)^3

x^2 - 6·x + 3 = a·(x - 5)^2 + b·(x - 5) + c

Nun setzten wir 3 beliebige Werte ein. Die kannst du dir frei aussuchen Einer sollte am besten x = 5 sein

x = 5

5^2 - 6·5 + 3 = a·(5 - 5)^2 + b·(5 - 5) + c
-2 = c

x = 1

1^2 - 6·1 + 3 = a·(1 - 5)^2 + b·(1 - 5) + c
-2 = 16·a - 4·b - 2

x = 2

2^2 - 6·2 + 3 = a·(2 - 5)^2 + b·(2 - 5) + (-2)
-5 = 9·a - 3·b - 2

Du erhältst 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, die du lösen kannst.

Wie gesagt ist das völlig egal welche x-Werte du wählst. Der Einfachheit halber sollten aber die Nullstellen des Nenners dabei sein.

Die Lösung lautet hier a = 1 ∧ b = 4

Daher lautet die Partialbruchzerlegung

(x^2 - 6·x + 3)/(x - 5)^3 = 1/(x - 5) + 4/(x - 5)^2 - 2/(x - 5)^3

Avatar von 487 k 🚀
Vielen Dank Mathecoach.

Kannst du nochetwas zu meinem 2. Punkt sagen?
Auch beim 2. Beispiel gilt: Einfach 2 Werte einsetzen

x - 5 = a·(x - 3) + b

3 - 5 = a·(3 - 3) + b --> -2 = b

0 - 5 = a·(0 - 3) + (-2) --> a = 1
+1 Daumen
1. Beispiel:

"Die übrigen x-Werte ... so wählen, dass die Faktoren rechts klein bleiben."

Ein schöner Faktor ist doch die 1 oder -1. Damit sind x=4 und  x=6  ideale Kandidaten.

.... = A(6-5)² + B(6-5)+ C

-------------------------------

2.Beispiel:

Suche einen "idealen" Kandidaten ...
Avatar von
Danke. Wie meinst du das mit idealen Kandidaten?

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community